2000年全国硕士研究生入学统一考试
八、 （本题满分6分）
设函数f(x)在?0,??上连续，且同点?1,?2,使f??1??f??2??0.
九、 （本题满分8分）
设向量组?1?(a,2,10),?2?(?2,1,5),?3?(?1,1,4),??(1,b,c).试问：当a,b,c满足什么条件时，（Ⅰ）?可由?1,?2,?3线性表出，且唯一？（Ⅱ）?不能由?1,?2,?3线性表出？（Ⅲ）?可由?1,?2,?3线性表出，但表示不唯一？并求出一般表达式.
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TTT??0f(x)dx?0，?f(x)cosxdx?0.试证明：在(0,?)内至少存在两个不
0?T2000年全国硕士研究生入学统一考试
十、 （本题满分9分）
2122??(nx1n?a1?x)n设有n元实二次型f(1x,x,2?n,x?)?x1(a?2x)?(2x??3?x)2a?n(n其x中1a)xai(i?1,?2,n,为实数.试问：当a1,a2,?,an满足何种条件时，二次型f(x1,x2,?,xn)为正定二次型.
十一、 （本题满分8分）（新大纲已不作要求）
假设0.05,1.25,0.80,2.00是来自总体X的简单随机样本值.已知Y?InX服从正态分布N(?,1)（Ⅰ）.求X的数学期望EX（记EX为b）；（Ⅱ）求?的置信度为0.95的置信区间；（Ⅲ）利用上述结果求b的置信度为0.95的置信区间.
十二、 （本题满分8分）
设A,B是二随机事件；随机变量X???1，若A出现?1，若B出现；Y??，是证明随机变量X和
?1，若A不出现?1，若B不出现??Y不相关的充分必要条件是A与B相互独立.
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数 学（三）
一、 填空题：（本题共5小题，每小题3分，满分15分. 把答案填在题中横线上）
（1） 设生产函数为Q?ALK其中Q是产出量，L是劳动投入量，K是资本投入量，而A,?,?均为大
于零的参数，则当Q?1时K关于L的弹性为__________.
（2） 某公司每年的工资总额比上一年增加20%的基础上再追加2百万.若以Wt表示第t年的工资总额（单
位：百万元），则Wt满足的差分方程是_____________.
???k?1（3） 设矩阵A???1??1111?k11??，且秩(A)?3，则k?_____. 1k1??11k?（4） 设随机变量X,Y的数学期望分别为-2，2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5。则根据切比雪夫
不等式PX+Y?6?____________.
（5） 设总体X服从正态分布而X1,X2,?X15是来自总体X的简单随机样本，则随机变量
2X12??X10Y?服从______分布，参数_________. 222(X11???X15)??二、 选择题：（本题共5小题，每小题3分，满分15分）
（1）设函数f(x)的导数在x?a处连续，又limx?af?(x)??1，则（ ） x?a(A) x?a是f(x)的极小值点. (B) x?a是f(x)的极大值点. (C) (a,f(x))是曲线y?f(x)的拐点.
(D) x?a不是f(x)的极值点，(a,f(x))也不是曲线y?f(x)的拐点.
（2） 设g(x)??x0?12(x?1),0?x?1??2；则g(x)在区间(0,2)内（ ） f(u)du,其中f(x)??1?(x?1),1?x?2??3(A) 无解. (B) 递减. (C) 不连续. (D) 连续.
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?a11a12?aa2221?（3） 设A??a31a32??a41a42a13a23a33a43a14??a14?aa24??,B??24?a34a34???a44??a44a13a23a33a43a12a22a32a42a11??0?0a21???,P1??0a31???a41??1001??1?0100??P2???0010???000??0000?010??，100??001?其中A可逆，则B-1等于（ ）
(A) APP12. (B) P1AP2. (C) PP12A. (D) P2AP1.
?1?1?1?1?A（4）设A是n阶矩阵，?是n维列向量.若秩?T???AT????0???秩(A)，则线性方程组（ ）
(A) AX??必有无穷多解. (B) AX??必有唯一解. (C) ????X??A?0仅有零解. (D) ????T0???y?????X??y??0必有非零解.
0????（5）将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于
（ ）
(A) ?1. (B) 0. (C)
1. (D) 1. 2十三、 （本题满分5分）
xy设u?f(x,y,z)有连续的一阶偏导数，又函数y?y(x)及z?z(x)分别由下列两式确定： e?xy?2和
ex??
x?z0sintdudt，求. tdx十四、 （本题满分6分）
已知f(x)在(??,??)内可导，且limf?(x)?e，lim(x??x??x?cx)?lim?f(x)?f(x?1)?，求c的值.
x??x?c
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十五、 （本题满分6分）
122(x?y)??2求二重积分??y?1?xe?dxdy的值, 其中D是由直线y?x，y??1及x?1围成的平面区域.
??D
十六、 （本题满分7分）
2已知抛物线y?px?qx(其中p?0,q?0)在第一象限内与直线x?y?5相切，且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S. （1）问p和q为何值时，S达到最大？（2）求处此最大值.
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