2002年全国硕士研究生研究生入学统一考试
六、（本题满分7分）
设D1是由抛物线y?2x和直线x?a，x?2及y?0所围成的平面区域；D2是由抛物线y?2x和直线
22y?0，x?a所围成的平面区域，其中0?a?2.
(1)试求D1绕x轴旋转而成的旋转体体积V1；D2绕y轴旋转而成的旋转体体积V2; (2)问当a为何值时，V1?V2取得最大值？试求此最大值。
七、（本题满分7分）
x3x6x9x3n???????????(???x???)满足微分方程y???y??y?ex； （1）验证函数y(x)?1?3!6!9!(3n)!x3n（2）利用（1）的结果求幂级函数?的和函数.
n?0(3n)!?
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2002年全国硕士研究生研究生入学统一考试
八、（本题满分6分）
设函数f(x),g(x)在?a,b?上连续，且g(x)?0.利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点??[a,b]，使
九、（本题满分8分）
?baf(a)g(b)dx?f(?)?g(x)dx
ab?ax1?bx2?bx3?????bxn?0?bx?ax?bx?????bx?0?123n设其次线性方程组?，其中a?0，b?0，n?2.试讨论a,b为何值时，方程
??????bx1?bx2?bx3?????axn?0组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解.
十、（本题满分8分）
设A为三阶实对称矩阵，且满足条件A?2A?0，已知A的秩r(A)?2.
(1)求A的全部特征值。 （2）当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵.
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22002年全国硕士研究生研究生入学统一考试
十一、（本题满分8分）
假设随机变量U在区间?-2,2?上服从均匀分布，随机变量x??试求（1）X和Y的联合分布概率； （2）D(X?Y).
十二、（本题满分8分）
假设一设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布，平均无故障工作的时间(Ex)为5小时，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机，试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F(y)。
??1,若U?-1??1,若U?1；y??；
1,若U?-11,若U?1??第 21 页
2003年全国硕士研究生入学统一考试
2003年全国硕士研究生入学统一考试
数学（三）
一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
1??xcos,若x?0,?（1）设f(x)??其导函数在x?0处连续，则?的取值范围是________. x若x?0,?0,?（2）已知曲线y?x3?3a2x?b与x轴相切，则b2可以通过a表示为b2?________. （3）设a?0，f(x)?g(x)???a,若0?x?1,而D表示全平面，则I???f(x)g(y?x)dxdy=_______.
?0,其他，D（4）设n维向量??(a,0,?,0,a)T,a?0；E为n阶单位矩阵，矩阵A?E???T， B?E?其中A的逆矩阵为B，则a?______.
（5）设随机变量X和Y的相关系数为0.9, 若Z?X?0.4，则Y与Z的相关系数为________.
1??T，a（6）设总体X服从参数为2的指数分布，X1,X2,?,Xn为来自总体X的简单随机样本，则当n??时，
1nYn??Xi2依概率收敛于______.
ni?1二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f?(0)存在，则函数g(x)?f(x)（ ) x(A) 在x?0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x?0. (C) 在x?0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x?0.
（2）设可微函数f(x,y)在点(x0,y0)取得极小值，则下列结论正确的是（ ) (A) f(x0,y)在y?y0处的导数等于零. （B）f(x0,y)在y?y0处的导数大于零. (C) f(x0,y)在y?y0处的导数小于零. (D) f(x0,y)在y?y0处的导数不存在.
（3）设pn??an?an2，qn??an?an2?，n?1,2,?，则下列命题正确的是（ )
(A) 若
?an?1n条件收敛，则
?pn?1n与
?qn?1n都收敛.
(B) 若
?an?1?n绝对收敛，则
?pn?1?n与
?qn?1?n都收敛.
(C) 若
?an?1?n条件收敛，则
?pn?1?n与
?qn?1?n敛散性都不定.
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2003年全国硕士研究生入学统一考试
(D) 若
?an?1?n绝对收敛，则
?pn?1?n与
?qn?1?n敛散性都不定.
?abb???（4）设三阶矩阵A?bab，若A的伴随矩阵的秩为1，则必有（ ) ????bba??(A) a?b或a?2b?0. (B) a?b或a?2b?0.
(C) a?b且a?2b?0. (D) a?b且a?2b?0. （5）设?1,?2,?,?s均为n维向量，下列结论不正确的是（ )
(A) 若对于任意一组不全为零的数k1,k2,?,ks，都有k1?1?k2?2???ks?s?0，则?1,?2,?,?s线性
无关.
(B) 若?1,?2,?,?s线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1,k2,?,ks，都有
k1?1?k2?2???ks?s?0.
(C) ?1,?2,?,?s线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s. (D) ?1,?2,?,?s线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.
（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1={掷第一次出现正面}，A2={掷第二次出现正面}，A3={正、反面各出现一次}，A4={正面出现两次}，则事件（ )
(A) A1,A2,A3相互独立. (B) A2,A3,A4相互独立. (C) A1,A2,A3两两独立. (D) A2,A3,A4两两独立. 三、（本题满分8分） 设f(x)?
四 、（本题满分8分）
11111??,x?[,1).试补充定义f(1)使得f(x)在[,1]上连续.
2?xsin?x?(1?x)2第 23 页