2003年全国硕士研究生入学统一考试
?2f?2f12?2g?2g2设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足??1，又g(x,y)?f[xy,(x?y)],求2?2.2?u2?v2?x?y
五、（本题满分8分） 计算二重积分I?
六、（本题满分9分）
?(xe??D2?y2??)22sin(x2?y2)dxdy.其中积分区域D={(x,y)x?y??}.
x2n求幂级数1??(?1)(x?1)的和函数f(x)及其极值.
2nn?1?n
七、（本题满分9分）
设F(x)?f(x)g(x), 其中函数f(x)，g(x)在(??,??)内满足以下条件： f?(x)?g(x)，g?(x)?f(x)，且f(0)?0, f(x)?g(x)?2ex. (1) 求F(x)所满足的一阶微分方程； (2) 求出F(x)的表达式.
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八、（本题满分8分）
设函数f(x)在?0,3?上连续，在?0,3?内可导，且f(0)?f(1)?f(2)?3,f(3)?1.试证必存在??(0,3)，使f?(?)?0.
九、（本题满分13分）
1n?(a1?b)x1?a2x2?a3x3???anxn?ax?(a?b)x?ax???ax112233nn??已知齐次线性方程组?a1x1?a2x2?(a3?b)x3???anxn??????????????a1x1?a2x2?a3x3???(an?b)xn?0,?0,?0,，其中?ai?0. 试讨论a1,a2,?,an和bi?1n?0,满足何种关系时，
(1) 方程组仅有零解； (2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系. 十、（本题满分13分）
222设二次型f(x1,x2,x3)?XTAX?ax1?2x2?2x3?2bx1x3(b?0)中，二次型的矩阵A的特征值之和为
1，特征值之积为-12.
(1) 求a,b的值；
(2) 利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.
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十一、（本题满分13分）
?1?32,若x?[1,8],设随机变量X的概率密度为f(x)??3x，F(x)是X的分布函数. 求随机变量Y=F(x)的
??0,其他;分布函数.
十二、（本题满分13分）
设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为X~???1?0.3U?X?Y的概率密度g(u).
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2?0.7??，而Y的概率密度为f(y)，求随机变量
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2004年全国硕士研究生入学统一考试
数学（三）
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若limsinx?ax?0ex(cosx?b)?5，则a =______，b =______.
.
?2f(2) 设函数f (u , v)由关系式f [xg(y) , y] = x + g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y) ? 0，则??u?v11?x2xe,??x??22，则12f(x?1)dx?(3) 设f(x)???21??1,x?2?.
(4) 二次型f(x1,x2,x3)?(x1?x2)2?(x2?x3)2?(x3?x1)2的秩为 . (5) 设随机变量X服从参数为λ的指数分布, 则P{X?DX}?_______. (6) 设总体X服从正态分布N(μ1,σ2), 总体Y服从正态分布N(μ2,σ2),X1,X2,?Xn1和 Y1,Y2,?Yn2分别是
22n2?n1???(Xi?X)??(Yj?Y)?i?1j?1??来自总体X和Y的简单随机样本, E???n1?n2?2??????.
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把
所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数f(x)?|x|sin(x?2)x(x?1)(x?2)2在下列哪个区间内有界. ( )
(C) (1 , 2).
(D) (2 , 3).
(A) (?1 , 0). (B) (0 , 1).
?1?f(),x?0(8) 设f (x)在(?? , +?)内有定义，且limf(x)?a， g(x)??x，则( )
x????0,x?0(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点. (B) x = 0必是g(x)的第二类间断点.
(C) x = 0必是g(x)的连续点. (D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关. (9) 设f (x) = |x(1 ? x)|，则( )
(A) x = 0是f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x)的拐点. (B) x = 0不是f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点. (C) x = 0是f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.
(D) x = 0不是f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x)的拐点. (10) 设有下列命题：( )
(1) 若
n?1?(u2n?1?u2n)收敛，则?un收敛. (2) 若?un收敛，则?un?1000收敛.
n?1n?1????n?1
????un?1(3) 若lim?1，则?un发散. (4) 若?(un?vn)收敛，则?un，?vn都收敛.
n??unn?1n?1n?1n?1第 27 页
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则以上命题中正确的是
(A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4).
(11) 设f?(x)在[a , b]上连续，且f?(a)?0,f?(b)?0，则下列结论中错误的是( )
(A) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f(x0)> f (a). (B) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f(x0)> f (b). (C) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f?(x0)?0. (D) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f(x0)= 0.
(12) 设n阶矩阵A与B等价, 则必有( )
(A) 当|A|?a(a?0)时, |B|?a. (B) 当|A|?a(a?0)时, |B|??a. (C) 当|A|?0时, |B|?0. (D) 当|A|?0时, |B|?0.
(13) 设n阶矩阵A的伴随矩阵A*?0, 若ξ1,ξ2,ξ3,ξ4是非齐次线性方程组 Ax?b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax?0的基础解系( )
(A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.
(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量.
(14) 设随机变量X服从正态分布N(0,1), 对给定的α?(0,1), 数uα满足P{X?uα}?α,
若P{|X|?x}?α, 则x等于( ) (A) uα. (B) u21?α2. (C) u1?α. (D) u1?α.
2三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)
求lim(x?01sin2x?cos2xx2).
(16) (本题满分8分)
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求
222222，其中D是由圆和(x?1)?y?1所围成的平面区域(如图). x?y?4(x?y?y)d???D