第2章 干扰对齐的基本概念
C?Mlog?P????log?P??
(2.9)
因此我们得到了M个自由度。在此强调，自由度的度量的衡量只是通过信道数量，而不是信道强度或者噪声功率。
自然而然地，所以一个网络的自由度有可以解释成解析信号空间的维数。比如1个信号维度对应着一个无干扰的高斯信道，并且信噪比（SNR）随着功率（P）按比例增加，而P又可以趋于无限大。自由度也同样被称为复用增益，用来测量无线多路复用的信号数量。此外，任何被带宽为B（一边带宽为B2）的双面基带无线频谱携带的信号，通过奈奎斯特-香农抽样定理，由B自由地选取每秒抽样样本，从而被表示出来，由于功率受限和基底噪声，每个样本值可以看作是携带1个自由度的信号维度，因此，自由度可以等同理解为带宽，复用增益，信号维数，或者容量表达式里log的预对数。因此，自由度的基本意义由上可显而易见。
最新的一些观点无线网络的干扰对齐表明无线网络的容量可以比现有的研究成果更大[1]。典型的一个干扰通信系统的例子，不管干扰的个数有多少，每个用户都可以分得一半的没有干扰的频谱。在一个有K的发射机和K个接收机的的时变干扰信道里，信道系数服从连续分布，则该网络的总容量可以描述为：
C??SNR??Klog(SNR)??(log(SNR)) 2(2.10)
1所以每个用户分得的容量为log(SNR)??(log(SNR))，其中SNR代表这个网络中所
2有发射机的总功率，当且仅当每个节点的本地噪声都归一化的时候。
例如一个两用户的高斯干扰信道，每个节点都配备单天线，发射机T1和T2分别给接受机R1和R2发送信息W11和W22。如果两个发射机合并为一个发射机（两个发射天线），或者两个接收机合并为一个接收机（两个接收天线），点对点的MIMO信道（MAC/BC）将会有两个自由度。然而，具有分布式的发送机和接收机的干扰信道只有1个自由度。这个损失的自由度显然是由于发射机/接收机的无法共同处理所发送/接收的信号。同样的具有两个用户的X信道，即有四个独立的信息W11,W12,W21,W22，当信道系数随时间变化或具有频率选择性时，并从连续分布中抽取，则其自由度为4/3[14]。
此外，一个M?N的无线X网络，每个节点配备A个天线时。M代表发射机数量，N代表接收机数量，当所有节点都只配备单天线并且信道系数时变或频变时，这个网络的自由度可以表示为?AMN??M?N?1?（每正交时间和频率维度）。因为总共的发送数据流数
7
第2章 干扰对齐的基本概念
量为MN，需要的子载波数量为M?N?1。
X网络与干扰网络自由度的比较[15]。当K很小的时候，K?K用户的X信道比K用户的干扰信道的自由度更显著。当K?2时，X网络的自由度为4/3。然而干扰信道却只有1个自由度。然而这个优势，随着K的增大，渐渐减弱。我们令无线X网络中的M?N?K，
K2显而易见，X信道的总容量为，在K趋于无限大时，结果趋于K2。
2K?12.3 干扰对齐的思想起源
2.3.1 索引编码
干扰对齐的应用早在1998年Birk和Kol的论文[17]，[18]中就可发现，其中介绍了索引编码问题。但是在2006年在一个关于X信道的专门背景下再度被Maddah-Ali等人所关注[6]，而且在2007年被Weingarten等人含蓄地运用到了复合MISO广播信道（BC）[19]。这个想法最初是由Jafar和Shamai提出[8]，最后则是Cadambe和Jafer把它作为一般性原则来介绍[20]，并且提出了一种机制对齐任意大量的干扰，得出了一个惊人的结论：无线网络基本没有干扰限制。从那以后继续演变成日益复杂的形式，跨越各种应用。
我们了解的干扰对齐的早期应用，出现在1998年的Birk和Kol的文章INFOCOM[17]，[18]例7中，在需求已知信源编码问题的情况（ISCOD）下（也可以理解为索引编码问题）。这个问题的制定，在同文中介绍可以适应于任何情况。正如Birk和Kol描述的那样，可以把其看做具有认知接收机的无线广播信道（BC），它也可以等效地被配制为通过有线网络的网络编码的问题。
如图2.1展示了之前例7的问题。这是一个广播（BC）信道，设置五个独立的信号符号a,b,c,d,x分别是五个接收端的期望信号（根据他们所期望的信号在图中有所标记）。每个接收机都有一些认知边带信息，即知道一些不需要的信息（一些传送的信息没能到达期望的接收机，但是在非期望的接收端又足够的强以致被解码）。
左边是具有认知接收机的广播信道，右边是基于同样问题的网络编码版本。在每种案例里，在移除了已知的两个干扰信号，在接收端a,b,c,d分别有三个未知的符号和有且只有两个
S提供的方程。每种情况下干扰对齐被用来对齐剩下的两个非期望的符号到一个维度，剩
下另一个不受干扰的维度来恢复期望的信号。
比如，如图2.1所示，信息符号b,x在接收端a是已知的；a,x在接受端b是已知的；
8
第2章 干扰对齐的基本概念
b,d在接受端c是已知的；b,c在接收端d是已知的；a,c,d在接收端x是已知的。Brik和
Kol提出运用两个信号维度来解决此方案，即两个连续的信道使用，从发射端发射符号S，其组成如下：
?1??1??0??0??1?S???a???b???c???d???x
?0??1??1??1??0?
图2.1一个干扰对齐解决方案——例7[17]
为了观察干扰对齐是怎样运用的，让我们一起考虑考虑每个接收机是怎么恢复其期望信号。接收机a即其期望信号是a可以访问二维度的符号S，同时也观察到b和x也是认知信息。在从S里移除了已知的信息b和x后，在一个二维空间接收机还剩下三个未知符号a,c,d。因为a是期望信号，剩下的两个信号c和d因此组成了干扰信号，必须对齐。事实上，因为c和d是一样的干扰波束?01?，这些符号完全可以对齐到一个一维空间，因为a的波束为?10?，它仍然从干扰信号中是可解的。同样地，在接收机b，在移除了已知信号后在一个二维空间中剩下三个未知符号b,c,d，再次，c和d对齐在同一个一维子空间中，而b不与c,d对齐，因此期望信号被恢复。再看接收机c，除了已知信号外剩下的未知符号为a,c,x，因为a和x对齐到同一空间?10?，c在其他的另一空间，期望信号可以恢复。在接收端d干扰对齐的思路同样被利用，最后在接收端x，在二维空间中只剩下两个未知符号b和x。因此两个方程足够恢复两个未知信号，在接受端x因此不需要干扰对齐。
Brik和Kol指出了这个结果令人惊讶的性质，这个“明显的奇迹”并不是需要所有节点的所有信息，这其实是干扰对齐的核心，将非期望的信号都合并到一个相对更小的维度。
TTT9
第2章 干扰对齐的基本概念
2.3.2 线性干扰对齐
尽管实际中干扰对齐方案具有很多复杂的形式，但是其基本思想的起源却来自线性代数。给出如下的一组线性方程：
y1?h11x1?h12x2?...?h1kxk y2?h21x1?h22x2?...?h2kxk
...... ...yB?hB1x1?hB2x2?...?hBkxk
(2.11)
上面的式子可以看出，我们有B个观测量y1,y2,...,yB，均由K个信息符号x1,x2,...,xk和信道系数hij线性组合而成，将目光从熟知的代数方程转移到我们感兴趣的干扰网络。假设
K代表发射机的数量，每个发射机发射一个信息符号，因此x1,x2,...,xk是K个完全独立的
信息，hij代表着有效信道系数。此外。将B看做带宽，或者是通过线性信道在接收端可用 的信号维度。因为信道是线性的，每个信号维度都产生一个线性组合的形式发送信息符号。因此，一个接收端可以用B个信号维度。
如果这些线性方程具有一般性，即有效信道系数服从连续分布，只要其中观测量的数量和未知符号的矢量相同，则所有的信息符号都可以被恢复。如果所有的发射信号都要被接收机获取，我们至少需要K个信号维度。然而，实际上我们所感兴趣的干扰网络中，只有一个信息符号子集是接收机所期望的，其余的符号（携带其他接收机所需信息）都不需要，即这些符号因此带来了干扰。举个特殊的例子，某个接收机只需要符号x1所携带的信息，其他符号都造成干扰，在这种情况下，我们不禁要问——到底需要多少个信号维度，才能将我们所需要的期望信号，从这一堆干扰里解码出来呢？换言之，我们需要多大的带宽为这个接收端从K?1个非期望信号中抽取出唯一的所需信号？
一般来说，我们需要K个信号维度。因为这儿存在K个接收机，每个有自己分别所需的信号，由于与各个发射机之间的线性信道有千差万别，所以这K个线性方程也迥然不同。但最终每个接收机都能求解出方程，恢复出所需信号。因此，接收机需要求解出一维信号，确实需要K个信号维度（或者说带宽需为K）。在无线干扰网络中，就相当于“切蛋糕”似的，K个用户间均分频谱——总的信号维度（总带宽），最终每个用户分得1K资源。
10
第2章 干扰对齐的基本概念
然而，事实证明，上述的均分频谱的方法并非最优方案。因为，即使线性方程的数目小于未知变量的个数，方程仍然可能有解。这种情况下如果有解，那么接收机需要满足什么条件呢？
为了方便求解，我们将上式的方程组重新改写为：
其中：
?h1k??y1??h??y?2Y???,H?k??2k?
????????y?B??hBk?Y?H?1x1?H?2x2?...?H?KxK
(2.12)
(2.13)
分别是观测矢量和符号xk的观测信道方向。在MIMO系统中，我们也说H?k是符号xk的波束接受方向。因此，要想从接收矢量Y中求解出符号x1，x1的接受波束方向H?1必须不能存在于其他波束方向H?2,H?3,...,H?K张成的矢量空间里。也就是说，接受机要恢复信号
x1，当且只有下面条件成立
H?1?span(H?2,H?3,...,H?K)
(2.14)
这K?1个波束方向H?2,H?3,...,H?K将会张成min?B,K?1?维的空间。所以，当B?K时，即带宽小于用户数，干扰张成B维空间，所有的B维空间都被干扰占有，期望信号就和干扰信号共存于此而无法恢复求解出来。但是，如果这些干扰信号可以合并到一个相对较小的子空间里，将剩余的空间留给期望信号，则实际上也能恢复期望信号。这就是干扰对齐的核心思想。
2.4 对齐原理
干扰对齐的核心思想是通过在发送信息前给每个用户的信号进行预编码，则从任意接收机来看，它接受到的干扰信息都在一个子空间内（通过正交投影），而来自期望用户的有用信号都在另一个正交子空间上，即将所有干扰限制在某个子空间内，而干扰空间的零空间是无干扰的，可以用来传输有用的数据流然后通过正交投影可以消除所有干扰，可以实现较为可靠地接收以及更高的传输速率。
下面给出一个阐述干扰对齐原理图。
11