第3章 干扰对齐算法研究
图3.3 一个M?N用户的无线X网络，时域对齐原理图
3.2 K用户高斯干扰信道
两用户的干扰信道与上述X信道最大的区别在于，干扰信道两个发送机只发送两个信息（由发射机1传送给接收机1的信息W11，发射机2传送给接收机2的信息W22）。
在K用户的MIMO系统中，假设接受机k(k?1,2,...,K)只接受发射机k(k?1,2,...,K)的信号，而把其他用户的信号当做干扰信号。
如图3.4，给出一个K用户的MIMO干扰信道示意图。
图3.4 K用户的高斯干扰信道
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第3章 干扰对齐算法研究
3.2.1 单天线情况
首先让我们回顾一下K用户的SISO高斯干扰信道，在有关干扰对齐的一个案例中，其中有名的一个案例称为——“toy example”[3]。其信道模型如下：
Yk?t??Xk?t??jm?1,m?k?KXm?t??Zk?t?
(3.2)
Yk?t?表示在时间t时的输出，Zk?t?表示零均值的单位方差，复数形式的循环对称的高
斯白噪声。XK?t?则是代表输入。所有的直接信道系数设为1，交叉信道（携带有干扰）系数为j??1。因此所有信道系数都是固定不变的恒值。所有输入输出等等都是复数形式，并且所有发射信号的功率都受到一定的限制，即??KP，在没有干扰的情况下，每个用户的容量可达C?log(1?P)，此时，最优的输入信号是分布服从循环对称的复数形式 的高斯信号。
经过一系列的推论得出，为了得到最优的总信道容量，K用户的干扰信道，每个发射机都牺牲一半的信号空间，只发送一个“真正的”高斯信号，用功率P表示。每个接收机舍去接收到的所有信号的虚部（其中包含有干扰信号），从而解码出来的传输速率为
12log?1?P?12???12log?1?2P?，分母的12表示的是高斯白噪声（功率为12）的实部，
因此干扰对齐后的总速率为K2log?1?2P?。
有趣的是，该信道的总容量也为K2log?1?2P?，这就意味着，在这种对称的干扰对齐信道里，无论SNR为多少，其达到的容量是最优的。相反的论点如下。考虑任意的两个用户，假如用户1和用户2，排除了其他任何用户，以此防止对所需用户的影响。为这两个用户选择可靠的编码方案，由于这些方案依赖于一些假设，因此用户1可以成功地从接收信号中解码自己的信息并抽取出来，现在它可以将此信号的相移版本来重建一个新的接收信号，其在统计学上几乎等于接收机2的接收信号。这意味着接收机1可以解码所有的信号。因此，由用户1和2实现的总传输速率也未能超过两用户的多址接入信道中接收机1得到的总信道容量。但是这种多址接入信道（MAC）总容量为log?1?2P?。同样的，考虑到任意两用户，我们发现他们的总传输速率的最大上限不过为log?1?2P?。将所有的限制加在一起，不难发现所有K个用户的总传输速率的外部约束之后为K2log?1?2P?。以上通过干扰对齐之后是完全可以实现的，因此K用户总信道容量也为K2log?1?2P?.在任何
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SNR（P）情况下都是可以实现的。这个示例特别有意思的一点是，容量实现方案里的输入均为高斯信号，但不是循环对称的高斯信号。这显然是因为点对点的高斯MIMO信道，多址接入，广播信道有复杂的信道系数，输入（即使相关，但也有不同的功率）也是分别为循环对称的高斯信号。
3.2.2 多天线情况
对于K用户的MIMO信道，每个发射机的天线为M，每个接收机的天线为N，我们得出的结论为[21]：
DOF?min(M,N)K,K?R; RDOF?min?M,N?K,K?R;R?1(3.3)
?max(M,N)?其中R???，当且R为整数。 min(M,N)??从上式（3.3）可以看出，当K?R时，DOF损失了
1份。 R?1对于MISO干扰信道，我们发现一个同样的自由度的特性。比如说，在一个三用户的MISO干扰信道，假设每个发射端的天线数为2，这种情况下的自由度也为2，和两用户情况一样，换句话说，每个用户可以同时得到23的自由度。当K>3是，每个用户仍然可以得到23的自由度。此外如果干扰对齐在SIMO信道能实现，那么由于信道的互逆性，在MISO信道里也一定能对齐。
一个K用户的M?N的MIMO干扰信道，其中每个发射机的天线数为M，接收机的天线数为N。用自由度来表征的K用户的SISO（M?N?1）干扰信道，到K用户的MIMO信道，都要求所有的节点的天线数都相同，即M?N。此时，我们将一个节点分裂成M个节点后，可以将K用户的M?M的干扰信道转变成为KM个用户的1?1的干扰信道，可以得到KM2的自由度。
然而当每个节点的天线数都不相同时，MIMO信道的自由度就会变得复杂。加入给定一个K用户的1?M的SIMO干扰信道，即接收端有M个天线，发射端只有一个天线。Gou
MK[21]和Jafar证明这种信道的总自由度为M，即每个用户分得的自由度为MM?1。当K?M时，?1在无干扰的情况下，每个用户得到1个自由度，每个人用户分得整个蛋糕的MM?1的小部分，当为SISO信道（M?1）时，变为了整体的12。
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我们将目光投向一个两用户的MIMO干扰信道，M1,M2代表发射天线数，N1,N2代表接收天线数，其最大的自由度为min?M1?M2,N1?N2,max(M2,N2)?[5]。
值得注意的是，对于单用户的MIMO信道，无论是发射端拆分为多个用户，变为MAC信道，还是把接收端拆分为多个用户，变为BC信道，信道自由度不变，改变的只是容量而已。
3.3 干扰对齐算法分类
干扰对齐算法[22]大致可以分为两类：一类是信号空间的干扰对齐算法；一类是基于信号编码级的干扰对齐算法。基于信号空间的算法就是构造一种特殊的发送信号，使所有干扰信号对齐到一个相同的信号子空间内，而给期望信号留出一个无干扰的空间，因此得到独立的接收信号，然后用各种方法，比如迫零法，在接受端寻求一个干扰抑制矩阵。因此，这类方法的难点以及重点在于构造发送端的预编码矩阵（常用方法有波束成形）和接收端的干扰抑制矩阵。第二类基于编码级的干扰对齐，在构造编码上运用栅格码，栅格码本叠加后仍然是栅格码，对于期望用户相当于只有一个干扰用户，因此可以考虑从编码处将信号直接校准，从而获得期望用户的信号。
3.4 空间干扰对齐算法
我们所接触的干扰对齐算法种类繁多，比如有不利用信道信息的算法，该算法的思想在于发射机完全不知道任何信道信息，仅仅基于不同的接收机看到的信道自相关性不同这一认知，结果表明，这类有CSIR，无CSIT的信道模型，干扰对齐也是可以实现的。相关算法有盲干扰对齐算法[23]（B-IA）和交叉天线选取算法[24]（SAS-IA）。而一类就是CSI信息完整，信道状态只是一种估计模型，所以在实际中，无线系统几乎都是不精确的，基于这些情况，相关算法有：基于最小化空间距离的交替最小化算法[25]（ALT-MIN，Alternating Minimization），渐近干扰对齐算法[26]（Asy-IA，Asymptotic Interference Alignment），最小均方误差估计算法[27]（MMSE，Mini-Mental State Examination）等等。
文献[3]提出的干扰对齐技术要求所有的发射端都需要全部信道信息，以求得发射端预编码矩阵的闭合解，这在实际中往往会带来巨大的开销，另一方面，闭合解通常很难获得，如今只是针对几种特定情况，因此，为了缓解上述问题，提出了分布式干扰对齐算法。
在一些用户数K?3的MIMO干扰系统中，干扰对齐算法无法得知系统传输的确切的
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预编码矩阵，我们通常都会采用反复迭代的方法来求解预编码矩阵。在任意的多天线多用户通信系统，文献[8]中提出了两种分布式的干扰对齐算法，均是通过迭代算法求发射端的预编码矩阵和接收端的干扰抑制矩阵。要运用这种迭代方法，必须满足的条件是信道必须是可逆的。这种算法只需要本地信道的信息，特别地，每个接收机只需要其期望的与之对应的发射机之间的信道信息，以及所有有效噪声的协方差矩阵。然后根据这些已知信息，不断反复迭代，不断更新矩阵，直到最后达到收敛状态，得到最终的预编码矩阵和干扰抑制矩阵。然后再运用到求解和传输速率的公式中，得到在一定功率情况下的传输速率。
迭代算法通常用于各种资源的分配问题，比如干扰避免和迭代注水算法。但是理论上的干扰对齐和这两者都有所区别，在干扰避免和迭代注水算法中，每个发射机都尽可能地为接收机提供最好的服务，为其分配最合适的功率，我们称之为“自助”。然而干扰对齐就尽量减少给用于造成的干扰。一些干扰对齐方案结果表明，在干扰网络中，“无伤害”的方法比所谓的“自助”的方法（干扰避免和迭代注水算法）更好得多。
下面将主要介绍两种基于以上条件的分布式干扰对齐算法。首先给出一般的可逆信道模型，如下：
给定一个K用户的MIMO干扰信道，K个发射机和接受机分别配备天线数为M和
N。注意，该天线可以代表在时间或频率符号扩展。然而，如果天线在正交维度（时域或
频域）对应符号扩展，那么信道矩阵具有对角结构。信道定义为：
Yk?n???Hkl?n?Xl?n??Zk?n?,?k??1,2,...,k?
l?1k(3.4)
Yk?n?代表接受信号矢量，Zk?n?代表在接受端k的零均值单位变化的外加高斯白噪声，均为N?1的矢量。Xl?n?是M?1的由发射机l发送的信号矢量。Hkl?n?是N?M的矩阵，代表着从发射机l到接收机k之间的信道系数。发射机l的发射功率设定为
2E?Xl??Pl。 ??根据上面定义的K用户的MIMO信道，我们由此定义了一个可逆信道，即所有的发射机和接收机都相互交换，对于原来正向信道的每一个变量，对应的在互换过后的反向信道里都在其上面标注了一个左箭头。该信道定义如下：
Yk?n???Hkl?n?Xl?n??Zl?n?,?k??1,2,...,k?
l?1k(3.5)
值得注意的是，在经过交换之后，Yk?n?和Zk?n?都成为了M?1的矢量，发射端的天
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