辽宁石油化工大学 信息与控制工程学院 毕业设计（论文）用纸
2.3 基于小波算法的奇异点检测
2.3.1 小波奇异性理论
通常，数学上称在某区间及其邻域内无限次可导的函数是光滑的，与此对应，若在某点函数有间断或某次导数不连续，则称此点为函数所表征信号的奇异点。
信号奇异点的产生，通常是由于信号在某一时刻幅值或频率发生突变，而引起了信号的不连续，或者是信号的一阶微分不连续所产生的。李普西兹指数（Lipschitz exponent）被用来描述函数的局部奇异性，其定义为，如果函数
x?t??L2?R?对点t0的某领域中任何t都有:
?t??x?t0??Kt?t0(K为常数，?为负数) (2.3) x ?则称?为在t0处的Lipschitz指数。如果对所有t,t0??a,b?上式都成立，则称x?t?在
?a,b?上一致Lipschitz ?。
由上面的定义可知，函数x?t?在t0点的Lipschitz指数?表征了函数在该点的光滑性?。Lipschitz ?越大，则函数在该点越光滑，反之则变化越剧烈。
函数x?t?在某点的Lipschitz ?与其奇异性的关系如下：1）如果函数x?t?在某点连续可微，则该点处Lipschitz ?=1；2）如果函数在某点可导，而导数有界但不连续时，Lipschitz ?=1；3）如果函数在某点出奇异，则Lipschitz ??1；4）如果函数在某点不连续但有界，则该点处的Lipschitz ?=0。 2.3.2 使用小波变换检测信号奇异点
长期以来，对于信号的奇异点检测主要使用傅立叶，其方法是将信号由时域转换到频域中，并研究其再频域内的衰减以判断信号的奇异性。但由于傅立叶变换缺空间局部性，只能在整个信号做整体分析，对于信号奇异点的位置信息等特
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征无法准确描述。而小波变换凭借其特有的多分辨时频分析能力而弥补了这一缺憾。在本课题中，信号的奇异点主要是由于压力突降引起的信号幅值突变，因此有必要研究小波变换检测信号突变的能力。
设??t?为一低通函数，通常将其取为高斯函数或规范B样条函数，本文采用B样条函数，这将在以下论述。
d??t?1?t?令???t?????，取???t????，则有：
dt????dWT?X?T??X?T?????T????x?t?????t?? (2.4)
dt由上式可见，信号x?t?的小波变换相当于先将其做低通滤波，然后求导。
WT?x?t?的模极大值点对应于平滑后信号的拐点，即信号的突变点。信号的突变点与小波变换后模极大值点的关系，信号x?t?的突变点x0与x2正对应着其小波变换的模极大值位置。在实际应用中，信号会复杂有噪声，由于噪声的存在，小波变换后的模极大值点往往不能正确表征信号突变点的位置。
有效信号与噪声信号的模极大值在尺度变化时的变化趋势相反；随着尺度的增大，信号中的噪声所对应的模极大值迅速衰减，而有效信号的模极大值会随之增强。因此，可以用逐步加大尺度的方法来减小噪声对突变点检测的影响。但同时，尺度不应过大，过大的尺度将会使得信号突变点的小波变换模极大值幅度下降剧烈，使得突变点的特征不明显。
在使用连续小波变换检测信号奇异点时，需要预先计算出小波函数??t?，且连续小波变换的数据冗余较大。对信号的小波变换可以将信号通过两通道滤波器得到，输出分别为低频概貌和高频细节。对一个含有奇异点的信号做上述变换后，
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奇异点的信息在其高频细节分量中体现，其位置对应着高频细节中模极大值的位置。
1．奇异性检测原理
信号的奇异性通常分为两种情况：一种是信号在某一时刻其幅值发生变化，使得信号非连续，幅值变化处即为第一种类型的间断点；另外一种是信号外观光滑，幅值没有突变，但信号的一阶微分有突变，且一阶微分是不连续的，称为第二种类型的间断。根据对管道泄漏时产生的压力波波形的分析，我们知道在发生大泄漏时，压力波形的间断点属于第一种类型的间断点，小泄漏是属于第二种类型的间断点。在利用小波分析信号的这种局部奇异性时，通常所选小波为光滑函数的一阶导数，可以证明经该小波变换后在奇异点处系数会出现极值。检测的基本原理是当信号在奇异点附近的Lipschitz指数?>0时，其小波变换的模极大值随尺度的增大而增大；当?<0时，则随尺度的增大而减小。也就是说在一个合适的尺度下，通过小波变换，根据小波系数模极大值和奇异点的关系，就能检测出信号的奇异点。设实函数?(x)满足
1) 2???1?xd?(x)1x如果选择小波函数为它的一阶导数，即?(x)?，同时记?s(x)??()，
dxss此时小波变换为：
d?dWsf(x)?f(x)*?s(x)?f(x)*(ss)(x)?s[f(x)*?s(x)] (2.5)
dxdx???(x)dx?1且?(x)??(即小波变换可表示为信号f(x)在尺度s被?s(x)平滑后的一阶导数。
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f(x)f(x)*?s(x)Wsf(x)X0X1X2
图2.1 信号的奇异性检测
2．小波变换对泄漏产生负压波信号奇异点的捕捉
利用小波变换既可以检测到压力波信号突变点，同时还可以对检测信号起到滤波的作用，从而准确定位泄漏点。在利用连续小波变换检测信号的奇异性时，通常采用Mallat提出的一种连续小波变换定义。
信号x(t)的连续小波变换定义为：
WaY(t)?Y*?a(t)?1?t??Y(?)??[]d? (2.6) ???aa1ata式中：
?a(t)??()
是基本小波函数?(t)在尺度上的伸缩。通常将基本小波函数?(t)取为高斯低通函数?(t)的一阶导数，即
1?t2'?1?t2'?(t)??(t)?(e)?te (2.7)
2?2?
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如果令
?a(t)??() (2.8)
则
1ata?a(t)?a进而
WTax(t)?x(t)*?a(t)?x(t)*ad?a(t) (2.9) dtd?a(t)d?a(x(t)*?a(t) (2.10) dtdt式中：
a——尺度因子；*——卷积符号；?a(t)——基本小波函数；?a(t)——高斯低通函数。
由于?(t)和?a(t)都是低通函数，所以Y(t)的连续小波变换等价于先对Y(t)进行低通滤波，然后求导，WY(t)的极值点对应于平滑后信号的拐点。因此，当Y(t)中存在噪声或边沿等奇异点时，其相应的小波变换WY(t)必将出现相应的极值点，从而利用WY(t)的极值点就可以检测出信号Y(t)的奇异点。这样，可以通过小波变换检测负压波的下降沿进行泄漏检测和定位，当负压波传播到首末端相应的压力测点的时间差确定以后，就可定位泄漏点。
通常，被检测的信号由原始真实信号（或确定性信号）和测量噪声信号构成，其小波变换是两部分信号的小波变换之和，其中，确定性信号边沿对应的小波变换的极值点随着尺度的增大将增大或缓慢衰减，而噪声信号边沿对应的小波变换的极值点随着尺度的增大将迅速衰减。因此在大尺度下所得到的小波变换的极值点将主要属于有用信号的边沿，从而可以提取确定性信号的边沿。但尺度大小的
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