问题中所给出的时刻为北京时间，而北京时间指的是东经120°地方的地方时，并不是问题中地点的地方时。所以先要将所给的北京时间转换成相应的地方时。
转换规则为：东经度<120度地区，每减少1度，减4分钟； 东经度>120度地区，每增加1度，加4分钟。 所以有转化公式：
?t0?(E?120)*4,E?120t=?
t?(120?E)*4,E?120?0其中，E表示直杆所在地点的经度，t0是北京时间，t是直杆所在地方的地方时。
用此公式对问题一中的北京时间进行操作，得到直杆所在地的地方时，如下表所示：
表4.1天安门的地方时与北京时间的转换 9:00 9:30 10:00 10:30 11:00 11:30 12:00 北京时间 8:75 9:25 9:75 10:25 10:75 11:25 11:75 地方时 12:30 13:00 13:30 14:00 14:30 15:00 北京时间 12:25 12:75 13:25 13:75 14:25 14:75 地方时 4.3模型的建立
要研究影子的变化，需要建立空间三维坐标对直杆影子的变化进行数学抽象。通过对直杆和地球分别建立了两个空间直角坐标系，用空间解析几何和向量知识，可以确定两个坐标系上各点之间的位置和角度关系。
4.3.1建立直杆处空间三维坐标系
根据假设，视太阳光线为平行光，以直杆所在地点的正东方向为x轴，以正北方向为y轴，以直杆直立即垂直于x0y平面的方向为z轴，建立空间直角坐标系，得到直杆在x0y平面的投影与光线的位置关系，如下图所示：
图4.2直杆空间三维坐标系
全国大学生数学建模竞赛一等奖论文
????????其中，AE是与过A处的经线相切的方向向东的单位向量；AK是A处地平面内方向向北的单位向量。AH是A处垂直于xOy平面的直杆，AF是该直杆在xOy平面内的投影，HF是当天太阳光线的照射方向，照射方向与直杆所成角度?FHA??。
4.3.2建立直杆在地球上的宏观空间球面坐标系
根据假设，可视地球为规则球体O1，过直杆底端A处的经线与赤道交于D点，B
点为某日的太阳直射点，过B点的经线与赤道交于C点。
以O为原点，以OD所在直线为x轴，以地轴ON所在直线为z轴建立空间直角坐标系O?xyz，如图4.3所示：
图4.3 直杆在地球上的空间三维坐标系
4.3.3确定各点之间的位置和角度关系
（1）?为直杆所处位置的纬度数，并且?90????90?。 若A地在北半球，则??0，若A地在北半球，则??0。
（2）亦即上面提到的赤纬，并且?23?26'???23?26'。 ?为太阳直射点B地的纬度，
（3）?为A地与B地的经度差，t是地方时。 对于某日A地白昼t时刻：??(12?t)?15?(0?t?24)。
（4）?AOB??AHF，证明过程如下：
由假设可知，太阳光线是一簇簇的平行线，所以HF//BO，如图4.4，圆O’是过A,B两地的大圆，于是?AOB??AHF，证毕。
由以上分析可得：
设地球半径为R，?AOD??,?BOC??,?DOC??,?AOB??1，则有：
全国大学生数学建模竞赛一等奖论文
?????AE?(0,1,0),AK?(?sin?,0,cos?)??A(Rcos?,0,Rsin?),B(Rcos?cos?,Rcos?sin?,Rsin?)
??????????cos??cos?OA,OB??cos?cos?cos??sin?sin?
图4.4 过A、B两地，以地球中心为圆心的圆
4.3.4确定日影坐标及其长度
（1）确定影子端点的横坐标
AHh?如图4.4，在Rt?AHF中，HF?，其中h为直杆长度。 cos?cos??????????????????????????设HF与AE所成角为，则cos??cos?HF,AE??cos?BO,AE???cos?sin?
????????cos?h，即F点在平面如图4.2，对HF在AE上的正投影AJ，有AJ?HFcos??cos?A?xy上投影端点的横坐标：
?cos?sin?x?h（4.1）
cos?cos?cos??sin?sin?
（2）确定影子端点的纵坐标 ????????????????????????AK?设HF与成角为，cos??cos?HF,AK??cos?BO,AK??sin?cos?cos?
????????cos?h，即点?cos?sin?，如图1，对HF在AK上的正投影AG，有AG?HFcos??cos?F在A?xy上投影端点的纵坐标：
sin?cos?cos??cos?sin?y?h（4.2）
cos?cos?cos??sin?sin?
（3）确定日影坐标的长度
已知直杆投影端点的横纵坐标，并且直杆底端即为坐标原点，所以可以得到直杆影长：
L?x2?y2（4.3）
全国大学生数学建模竞赛一等奖论文
4.3.5影子长度变化的综合模型
根据上面的分析，太阳光下物体影子的长度变化综合模型为：
?L?x2?y2??cos?sin??x?h??cos?cos?cos??sin?sin?（4.4） ??y?sin?cos?cos??cos?sin?h?cos?cos?cos??sin?sin???????(12?t)?15(0?t?24)
4.4模型的求解
4.4.1赤纬角?求解
太阳赤纬角?在每一年的任何时刻的值都是可求的，其计算公式为[7]： ???0.3732?23.2567sin?1?0.1149sin2?1?0.1712sin3?1?0.758cos?1??0.3656cos2??0.0201cos3?11??2?T （4.5） ???1365.22??T?N?N0??N0?79.6764?0.2422*(year?1985)?floor((year?1985)/4)其中式中?1为日角，即?1=2?t/365.2422；N为积日，即日期在年内的顺序号，如平年12月31日为365，闰年的12月31日是366。year为计算时刻所在的年份，floor为向下取整函数。
根据问题一中的2015年10月22日，可知积日N=295，year=2015，所以可以求出：
T=215.0576，?1?3.6996(弧度）
根据上述所求结果，得到：
??-10.8636（度）
4.4.2直杆所在地与太阳直射点之间的纬度差?的求解
纬度差计算公式有：
??(12?t)*15(度)
其中t为直杆所在地的地方时。
将4.2.2中由北京时间转换出的地方时t代入以上公式，可以得到不同时刻，直杆所在地点与太阳直射点的纬度差?的变化值，如下所示：
表4.2随着时间变化纬度差?变化值 9:00 9:30 10:00 10:30 11:00 11:30 12:00 北京时间 48.6 41.1 33.6 26.1 18.6 11.1 3.6 ?/度 全国大学生数学建模竞赛一等奖论文
13:00 13:30 14:00 14:30 15:00 北京时间 12:30 -3.9 -11.4 -18.9 -26.4 -33.9 -41.4 ?/度 4.4.3影长变化的求解结果
由于在很短时间内，影子不会出现大的变化，所以可以认为1分钟内，影子长度是近似不变的。将这段时间分为361个时间段，每一分钟是一个小时刻，将这个时刻的影长作为这一分钟内的影子长度。
将上面计算出来的?和?代入影子端点的坐标和影子长度表达式，得到每一分钟，平面直角坐标系内影子端点的坐标变化值和影子长度变化值。由于数据较多，这里只给出每隔30分钟的数据样点，结果如下表所示：
9:00 11:30 12:00 北京时间 x坐标/米 -5.85667 -4.33428 -3.2181 -2.33252 -1.58425 -0.91719 -0.29316 13:00 13:30 14:00 14:30 15:00 北京时间 12:30 x坐标/米 0.317686 0.942828 1.612324 2.364838 3.257505 4.385764 9:00 11:30 北京时间 y坐标/米 4.461538 4.157743 3.963101 3.83469 3.750897 3.70015 13:00 13:30 14:00 14:30 15:00 北京时间 12:30 y坐标/米 3.676817 3.701635 3.753559 3.838868 3.969421 4.1674 表4.4随着时间变化影子端点的y坐标变化 9:30 10:00 10:30 11:00 表4.3随着时间变化影子端点的x坐标变化 9:30 10:00 10:30 11:00 12:00 3.67634
9:00 11:30 12:00 北京时间 影长/米 7.362464 6.006064 5.105126 4.488371 4.071741 3.812132 3.679733 13:00 13:30 14:00 14:30 15:00 北京时间 12:30 影长/米 3.690516 3.819821 4.085192 4.50881 5.134943 6.049971 由上表，可以作出天安门广场3米高的直杆在太阳下影子长度的变化曲线，如下所示：
表4.5随着时间变化影子长度的变化情况 9:30 10:00 10:30 11:00 全国大学生数学建模竞赛一等奖论文