ysin?sin??hcos?sin??cos?cos???hsin??ycos??（5.1） ?xsin???cos?sin???hsin??ycos??
两边平方消去?，可以得日影端点F在直杆底端所在平面A?xy上的轨迹方程为：
x2sin2??y2cos(???)cos(???)?hysin2??h2sin(???)sin(???)?0（5.2）
5.3.2将直角坐标转换为极坐标
为了消除不同地点观测者选取坐标轴方向的随机性对坐标产生的影响，将直角坐标转换成具有统一极点和极轴的极坐标系。
（1） 对原先直角坐标进行预处理
对于附件1中21组xy坐标的数据，保持他们横坐标不变，纵坐标都减去附件1中第一组坐标的纵坐标值，即：
?x'?x（5.3）?y'?y?y?1这样的处理相当于对投影端点轨迹曲线作了平移，将第一组数据平移到了x轴上，
如下图所示：
图5.2对附件1中坐标进行预处理
（2）对影子端点建立极坐标系
以直杆所处位置底端为极点，以极点到第一组影子端点连线方向为极轴，建立极坐标系，如下图所示：
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图5.3对影子端点建立的极坐标系
（3）将模型一中求得的轨迹方程转换成极坐标方程
应用上述规则，预处理之后的坐标为：x??x,y??y?y1，其中x,y代表原先的21组数据值。
为了将轨迹方程转换成极坐标方程，令x???sin?,y???cos?，所以有：
x??cos?,y??sin??y1，（5.4）
代入式（4.8），求得影子端点轨迹的极坐标方程f(?,?)?0：
?2cos2?sin2???2sin2?cos(???)cos(???)??sin?(sin2??h?2y1cos(???)cos(???))?hy1sin2??h2sin(???)sin(???)?y12cos(???)cos(???)?0
为了便于观察，将极坐标中变量的系数用常数符号表示，得到了确定日期确定经纬度以及确定杆长的固定直杆的影子端点随时间变化轨迹的极坐标方程，如下：
k1?2cos2??k2?2sin2??k3?sin??k4?0（5.5）
其中：
?k1?sin2???k2?cos(???)cos(???)（5.6）?k?sin2??h?2ycos(???)cos(???)1?3?k?hysin2??h2sin(???)sin(???)?y2cos(???)cos(???)?411
5.3.3对已给数据进行极坐标二次曲线拟合
由以上推导，待求位置固定直杆在所在地平面上的投影的极坐标方程形式已知。所以可以用极坐标系下的二次曲线模型对已知xy坐标的21组数据进行拟合：
A?2cos2??B?2sin2??C?sin??D???0
其中A,B,C,D为回归系数，?为随机误差，服从均值为0的正态分布，?,?为21组平面直角坐标经过坐标转换之后得到的极坐标值，拟合精度为10-7
拟合出的极坐标方程为：
W(?,?)?A0?2cos2??B0?2sin2??C0?sin??D0?0( 5.7)
5.3.4建立直杆地点的空间匹配优化模型
（1）确定目标函数：
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n其中?i,?i为每一搜索点处的极坐标值。
minFi??W(?,?)iii?1n(i?1,2,...,n) (5.8)
（2）建立直杆地点的空间匹配优化模型：
n?W(?i,?i)???minFi?i?1(i?1,2,...,n)n??W(?,?)?A?2cos2??B?2sin2??C?sin??D?00000?? ?x??cos?,y??sin??y1 (5.9)??cos?sin??x?hcos?cos?cos??sin?sin???sin?cos?cos??cos?sin??y?hcos?cos?cos??sin?sin???
5.4模型的求解
为了求解上述模型，设计如下多层优化搜索算法： Step1，先对搜索点杆长的近似估计，得到合理的杆长；
Step2，再确定搜索点处影子端点极坐标，作为判断所搜点是否可行的依据； Step3，由陆地经纬度范围确定搜索点的论域；
Step4，以5度为步长进行顶层搜索，搜索出下层搜索的搜索点论域； Step5，以更小步长进行下层步长进行搜索，再次更新搜索点论域；
Step6，是否满足精度要求，不满足精度要求，再次进行step5，否则，当前值是最优值。
5.4.1搜索点杆长的近似估计
由于附件中没有给出具体杆长，所以在每一个搜索点，可以根据5.2中所提到的正午太阳高度角给出杆长的近似估计。
以东经90度北纬30的搜索点P17,25为例，杆长计算步骤如下： （1）根据搜索点经度将所给数据北京时间信息转换成当地时间，t0?14.7是附录所给北京时间，可以算出当地的地方时为：
tk?t0?(120?Lo(i))/15=14.7-(120-90)/15=12.7
（2）对所给横纵坐标(x(k),y(k))(k?1,2,...,21)用最小二乘法进行拟合，求得横纵坐标随时间推移的线性关系：
y?ax?b
拟合结果如下：
y?0.147x?0.3475
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（3）确定当地时间为正午12点时的影子长度
可将影子横纵坐标均视为随着时间的推移线性变换，所以得到当地时间正午时刻影子端点的横纵坐标：
(1)(21)(1)(1)??x0?x?(x?x)(tk?12) (5.10) ?y?ax?b?0?0其中t(1)k为附录数据的第一组的当地时间。
l?x02?y02直杆正午时刻的影长l：
以P17,25点为例，正午时刻的影长为：
?x0?1.0365?(1.8277?1.0365)(12.7?12)?0.4827??y0?0.147?0.4827?0.3475?0.4185
l?0.48272?0.41852?0.6389
（4）根据正午时刻太阳高度角近似估计杆长
hi,j?tan(90???La(j))
以P17,25点为例，估算出的杆长为：
h17,25?tan(90?10.3686?30)?1.1763
5.4.2确定搜索点处影子端点极坐标
首先根据式[8]得到影子端点的横纵坐标值：
?cos?sin?k?x(k)?hi,j ?i,jcos?cos?cos??sin?sin??k (5.11)?sinLa(j)cos?cos??cosLa(j)sin?k?y(k)?hi,ji,j?cosLa(j)cos?cos?k?sinLa(j)sin??其中La(j)为搜索点纬度，?为该日赤纬角在本题中为定值，?k为观测点与当地时刻tk太阳直射点的经度差：?k?(12?tk)?15?(0?tk?24;k?1,2,...,21)
再依据坐标转换规则得到影子端点的极坐标值：
??(k)?x(k)2?[y(k)?y(1)]2i,ji,ji,ji,j?? (5.12)?yi,j(k)?yi,j(1)??i,j(k)?arctanxi,j(1)??以P17,25点为例，第五组的极坐标值计算公式如下：
??(5)?x(5)2?[y(5)?y(1)]2?1.173i,ji,ji,ji,j???yi,j(5)?yi,j(1) ?(5)?arctan?0.024?i,jxi,j(5)??
以此类推得到了P17,25点的21组极坐标值，如下表所示：
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表5.1P17,25点的21组不同时刻极坐标值
北京时间 ? ? 北京时间 ? ? 5.4.3搜索点论域的确定
求解以上模型的关键是搜索方法的简化，经过查找资料，得到了七大洲大致的陆地经纬度范围：
表5.2七大洲陆地经纬度范围 14:42 0.912 0.000 15:15 1.525 -0.085 14:45 0.955 -0.009 15:18 1.599 -0.092 14:48 1.001 -0.017 15:21 1.677 -0.099 14:51 1.049 -0.025 15:24 1.759 -0.106 14:54 1.099 -0.033 15:27 1.846 -0.113 14:57 1.151 -0.041 15:30 1.937 -0.119 15:00 1.206 -0.049 15:33 2.034 -0.126 15:03 1.264 -0.056 15:36 2.136 -0.132 15:06 1.324 -0.064 15:39 2.244 -0.139 15:09 15:12 1.388 1.455 -0.071 -0.078 15:42 2.358 -0.145 亚洲大陆 欧洲大陆 非洲大陆 北美大陆 南美大陆 大洋州 南极洲 1°17′N—77°43′N 36°00′N—71°08′N 34°51′S—37°21′N 7°12′N—71°59′N 53°54′S—12°28′N 47°S—30°N 62°S以南 26°03′E—169°40′W 9°31′W—66°10′E 17°33′W—51°24′E 168°05′W—55°41′W 81°20′W—34°46′W 110°E—130°W 跨360°经度
5.4.4求解结果
在每一大洲的经纬度范围内，取五度为一步长，确定了每一个大洲搜索点论域，进行初步搜索
初步计算结果如下所示：
经度/度 纬度/度 90 20 表5.3初步计算结果 90 95 105 25 15 15 110 20 110 25 经过顶层搜索，确定了待求位置的取值区间。将取值区间更细划分，取1度为步长，进行下层搜索来进一步细化搜索过程。
下层搜索计算结果：
北纬N25?，东经E115?（具体地点为江西赣州）
5.5模型验证
为了验证该模型的正确性，我们进行了实地测量。
取40厘米长的直杆，于14:30至15:30在现居住地（E113，N30）进行了影长的坐标采样，得到了相关的数据，数据见附录。
利用模型二对此实测数据进行求解，得出的结果为：E115，N25
模型验证的结论：
（1）和实际的地点存在出入，但是误差相对较小。
（2）误差来源：未考虑太阳折射的误差、拟合曲线的误差，实地测量的误差。 （3）改进算法可使误差减小。
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