图4.5直杆影子长度随时间的变化曲线
结论：
（1） 直杆的影长从9时开始，先减小，减小至北京时间12:09时，影长达到最
短，为3.673731米，之后开始增大。
（2） 10月22日北京正处于秋末，太阳直射点在赤道和南回归线之间，此时正
午时分直杆的影长比其本身更长。
（3） 北京时间12:00的影长为3.679733米，比12:09时稍长，这也进一步说
明北京时间并不是指示北京的地方时。
4.5分析影子长度和各参数之间的变化规律
问题中要求分析影子随各参数的变化情况，首先，根据4.3.5中的模型，可以看出影长L和?、?、?有关。而赤纬?是关于日期的函数，?是关于地方时t的函数，t又是关于经度的函数。
所以综上可知，影响影子长度的参数有：直杆所在地的经纬度、地方时、当前的日期。
以影子长度与纬度的变化关系为例，研究直杆同一时刻同一经线上不同纬度地点的影长变化，将?，?均视为定值，设：
k1?cos?sin?，k2?cos?cos?，k3?sin?
则影子端点的坐标为：
?k1?x?h ?cos?k2?sin?k3?（4.6）??y?sin?k2?cos?k3h?cos?k2?sin?k3?为了简明地表达二者之间的关系，取时刻为当地时间12点，即??0，取日期为问题所给10月22日时的太阳直射点赤纬，即???10.86?，则：
k1?0，k2?0.982，k3??0.188
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所以影子端点的坐标为：
?x?0?15.95?y??0.982?0.188tan? ?此时影子的长度为：
15.950.982?0.188tan?
由此可以作出影子长度随纬度变化的变化趋势，如下所示：
L?图4.6东经120度上影子随纬度的变化规律图
结论：
（1） 在东经120度上，直杆影子长度随着纬度的增加而逐渐增加，在纬度近似
为N76?时，影长开始陡增，在北纬79?达到一个远大于正常情况的极大值，越过此极大值之后，影长又开始陡减，在纬度近似为N82?时减少速率逐渐平缓。
（2） 如下图所示：当太阳直射点纬度不是0度时即不直射赤道时，影子最长点
会出现在小于北纬90?的某个纬度处，并且此时的影长接近无穷长，这就是图中在北纬79?出现一个极高峰值的原因。
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图4.7日照光线示意图
其他因素以此为例，进行同样的分析，就可得到各因素与影长的变化关系，正午影长随日期的变化如下图所示：
图4.8 天安门广场午时影长随日期变化规律图
结论：
（1） 午时天安门广场的影长随日期的变化规律为：一年中从第一天开始随着日期
的变化，影子长度先减小，达到一个最小值，再增大。
（2） 2015年天安门广场午时影长最短的一天是一年中的第173天。
4.5模型检验
将问题一模型运用到2015年的10月22日的其他城市。在这里，取西藏（东经91.11，北纬29.97）和东京（东经138.6，北纬35.5）为检验的对象。
由上面的模型，计算出在西藏和东京，一根3m长的直杆在太阳下得到的影子长度随北京时间的变化曲线分别是：
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图4.9 西藏在北京时间9:00至15:00的影子长度变化曲线
图4.10 东京在北京时间9:00至15:00的影子长度变化曲线
结论：
（1） 西藏的地方时比东八区（东经120度）区时晚2小时左右，所以西藏的正
午时间为北京时间14:00左右，模型规律与实际的影长曲线规律是相符的。 （2） 东京的地方时比东八区（东经120度）时间早1小时左右，所以东京的正
午时间为北京时间11:00左右，模型规律与实际的影长曲线规律是相符的。
5. 问题二的建模与求解
5.1问题分析
问题二中，附件给出的仅仅是直杆所处地平面上未知x轴方向和y轴方向的坐标值。
为了消除观测者在观测时任意选定坐标轴造成的影响，对题目所给的坐标数据进行平移
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处理，再将直角坐标转换成极坐标，给出影子端点轨迹的极坐标方程。再根据附件中的数据，对含有参数的极坐标方程进行拟合，得出相关参数值。对于每一个确定经纬度和日期的观测点，代入极坐标方程可以得到相应函数值。以该函数值最接近0为目标，建立基于多层优化搜索算法的空间匹配优化模型。
建模流程图如下所示：
图5.1问题二建模流程图
5.2模型的准备
由于附件中并没有给出直杆的原长，所以需要先对直杆的长度进行估算，下面直杆长度的计算需要用到正午太阳高度角的概念。正午太阳高度角H指的是一天中最大的太阳高度角。计算公式如下所示：
H=90??|???|
其中，?为太阳直射点的纬度，?为直杆所在地的纬度。
5.3模型的建立
通过第一问求得的影子端点坐标，得到影子端点的直角坐标系下的轨迹方程，再建立极坐标系，将处理过后的xy坐标转换成极坐标，给出极坐标下的轨迹方程。
5.3.1确定影子端点的轨迹方程
由模型一可知影子端点的横纵坐标表达式为：
?cos?sin??x?h?cos?cos?cos??sin?sin?? ?sin?cos?cos??cos?sin??y?h?cos?cos?cos??sin?sin??移项代入化简得：
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