典型例题一
例1 已知椭圆mx2?3y2?6m?0的一个焦点为（0，2）求m的值．
分析：把椭圆的方程化为标准方程，由c?2，根据关系a?b?c可求出m的值．
222x2y2??1． 解：方程变形为
62m因为焦点在y轴上，所以2m?6，解得m?3． 又c?2，所以2m?6?2，m?5适合．故m?5．
2典型例题二
例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点P?3，0?，a?3b，求椭圆的标准方程． 分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，求出参数a和b（或a和b）的值，即可求得椭圆的标准方程．
22x2y2解：当焦点在x轴上时，设其方程为2?2?1?a?b?0?．
ab由椭圆过点P?3，0?，知
90??1．又a?3b，代入得b2?1，a2?9，故椭圆的方22abx2?y2?1． 程为9y2x2当焦点在y轴上时，设其方程为2?2?1?a?b?0?．
ab由椭圆过点P?3，0?，知
90??1．又a?3b，联立解得a2?81，b2?9，故椭圆22aby2x2??1． 的方程为
819
典型例题三
例3 ?ABC的底边BC?16，AC和AB两边上中线长之和为30，求此三角形重心G用心 爱心 专心
的轨迹和顶点A的轨迹．
分析：（1）由已知可得GC?GB?20，再利用椭圆定义求解．（2）由G的轨迹方程
G、A坐标的关系，利用代入法求A的轨迹方程．
解： （1）以BC所在的直线为x轴，BC中点为原点建立直角坐标系．设G点坐标为
由GC?GB?20，知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因?x，y?，
x2y2a?10，c?8，有b?6，故其方程为??1?y?0?．
10036x?2y?2??1?y??0?． ① （2）设A?x，y?，G?x?，y??，则
10036x??x?，?x2y2?3??1?y?0?，由题意有?代入①，得A的轨迹方程为其轨迹是椭圆（除900324?y??y?3?去x轴上两点）．
典型例题四
例4 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为
45和325，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 3分析：讨论椭圆方程的类型，根据题设求出a和b（或a和b）的值．从而求得椭圆方程．
解：设两焦点为F1、F2，且PF1?224525，PF2?． 33从椭圆定义知2a?PF1?PF2?25．即a?5． 从PF1?PF2知PF2垂直焦点所在的对称轴， 所以在Rt?PF2F1中，sin?PF1F2?PF21?， PF12用心 爱心 专心
可求出?PF1F2??6，2c?PF1?cos?6?1025222，从而b?a?c?．
33x23y23x2y2??1或??1． ∴所求椭圆方程为
510105
典型例题五
x2y2例5 已知椭圆方程2?2?1?a?b?0?，长轴端点为A1，A2，焦点为F1，F2，Pab是椭圆上一点，?A1PA2??，?F1PF2??．求：?F1PF2的面积（用a、b、?表示）．
分析：求面积要结合余弦定理及定义求角?的两邻边，从而利用S??积．
解：如图，设P?x，y?，由椭圆的对称性，不妨设P?x，y?， 由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限．由余弦定理知： F1F221absinC求面22?PF1?PF2?2PF1·PF2cos??4c．①
22由椭圆定义知： PF1?PF2?2a ② 则②－①得
22b2 PF． 1?PF2?1?co?s故S?F1PF2?1PF1?PF2sin? 212b2sin? ?21?cos? ?btan2?2．
典型例题六
x2?y2?1， 例6 已知椭圆2用心 爱心 专心
（1）求过点P?，?且被P平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（3）过A?2，1?引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
（4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足kOP?kOQ??求线段PQ中点M的轨迹方程．
分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．
解：设弦两端点分别为M?x1，y1?，N?x2，y2?，线段MN的中点R?x，y?，则
?11??22?1，2?x12?2y12?2，?22?x2?2y2?2， ??x1?x2?2x，?y?y?2y，2?1①－②得
①②③④
?x1?x2??x1?x2??2?y1?y2??y1?y2??0．
由题意知x1?x2，则上式两端同除以x1?x2，有?x1?x2?2?y1?y2?将③④代入得
x?2yy1?y2?0，
x1?x2y1?y2?0． ⑤
x1?x2（1）将x?11y?y21，y?代入⑤，得1??，故所求直线方程为 22x1?x22 2x?4y?3?0． ⑥
22将⑥代入椭圆方程x?2y?2得6y?6y?211?0，??36?4?6??0符合题意， 44故2x?4y?3?0即为所求．
（2）将
y1?y2?2代入⑤得所求轨迹方程为：
x1?x2 x?4y?0．（椭圆内部分）
用心 爱心 专心
（3）将
y1?y2y?1代入⑤得所求轨迹方程为 ?x1?x2x?2 x2?2y2?2x?2y?0．（椭圆内部分） （4）由①＋②得
2x12?x22?y12?y2?2， ⑦
2??将③④平方并整理得
22 x1?x2?4x2?2x1x2， ⑧ 22 y1?y2?4y2?2y1y2， ⑨
将⑧⑨代入⑦得
4x2?2x1x2?4y2?2y1y2?2， ⑩
4??再将y1y2??1x1x2代入⑩式得 222 2x?x1x2?4y?2???1?x1x2??2， ?2?y2?1． 即 x?122此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．
典型例题七
例7 已知动圆P过定点A??3，并且在定圆B：0?，?x?3??y2?64的内部与其相内切，
2求动圆圆心P的轨迹方程．
分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式． 解：如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M．动点P0?和定圆圆心B?3，0?距离之和恰好等到两定点，即定点A??3，于定圆半径，即PA?PB?PM?PB?BM?8．
∴点P的轨迹是以A，B为两焦点，半长轴为4，半短
用心 爱心 专心