轨迹方程或轨迹．
解：设点M的坐标为(x,y)，点P的坐标为(x0,y0)， 则x?x0，y?y0． 2因为P(x0,y0)在圆x2?y2?1上， 所以x02?y02?1．
将x0?2x，y0?y代入方程x02?y02?1得
4x2?y2?1．
所以点M的轨迹是一个椭圆4x2?y2?1．
说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：首先设动点的坐标为(x,y)，设已知轨迹上的点的坐标为(x0,y0)，然后根据题目要求，使x，y与x0，从而由这些等式关系求出x0和y0代入已知的轨迹方程，就可以求出关于y0建立等式关系，
x，y的方程，化简后即我们所求的方程．这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌
握．
这种题目还要注意题目的问法，是求“轨迹”还是求“轨迹方程”．若求轨迹方程，只要求出关于x，y的关系化简即可；若求轨迹，当求出轨迹方程后，还要说明由这种方程所确定的轨迹是什么．这在审题时要注意．
典型例题十五
x2y2??1上的点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，则ON例15 椭圆
259（O为坐标原点）的值为( )
A．4 B．2 C．8 D．
3 2解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为F2，由椭圆第一定义得MF1?MF2?2a?10，所以MF2?10?MF1F2的中位线，所以1?10?2?8，又因为ON为?MFON?1MF2?4，故答案为A． 2用心 爱心 专心
说明：
(1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆． (2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即MF1?MF2?2a，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离．
典型例题十六
x2y2?1，试确定m的取值范围，使得对于直线l：y?4x?m，例16 已知椭圆C：?43椭圆C上有不同的两点关于该直线对称．
分析：若设椭圆上A，B两点关于直线l对称，则已知条件等价于：(1)直线AB?l；(2)弦AB的中点M在l上．利用上述条件建立m的不等式即可求得m的取值范围．
解：(法1)设椭圆上A(x1,y1)，B(x2,y2)两点关于直线l对称，直线AB与l交于
M(x0,y0)点．
∵l的斜率kl?4， ∴设直线AB的方程为y??1x?n． 41?y??x?n,??4由方程组?2消去y得 2xy???1,?3?413x2?8nx?16n2?48?0 ①
8n． 13x?x24n112n?于是x0?1，y0??x0?n?， 2134134n12n,)． 即点M的坐标为(1313∴x1?x2?用心 爱心 专心
∵点M在直线y?4x?m上，∴n?4?解得n??4n?m． 1313m． ② 422将式②代入式①得13x?26mx?169m?48?0 ③
∵A，B是椭圆上的两点，∴??(26m)2?4?13(169m2?48)?0．
解得?213213． ?m?131313413m，∴x0?(?m)??m， 4134113113y0??x0?m???(?m)?m??3m，即M点坐标为(?m,?3m)．
4444∵A，B为椭圆上的两点，∴M点在椭圆的内部，
(法2)同解法1得出n??(?m)2(?3m)2??1． ∴43解得?213213． ?m?1313(法3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)是椭圆上关于l对称的两点，直线AB与l的交点M的坐标为(x0,y0)．
xyxy∵A，B在椭圆上，∴1?1?1，2?2?1．
4343两式相减得3(x1?x2)(x1?x2)?4(y1?y2)(y1?y2)?0， 即3?2x0(x1?x2)?4?2y0(y1?y2)?0． ∴
22223xy1?y2??0(x1?x2)．
x1?x24y03x0?4??1， 4y0又∵直线AB?l，∴kAB?kl??1，∴?即y0?3x0 ①
又M点在直线l上，∴y0?4x0?m ② 由①，②得M点的坐标为(?m,?3m)．
用心 爱心 专心
以下同解法2.
说明：涉及椭圆上两点A，B关于直线l恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用以下方法列参数满足的不等式：
(1)利用直线AB与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式??0，建立参数方程．
xy(2)利用弦AB的中点M(x0,y0)在椭圆内部，x0，y0满足不等式0?0?1，将x0，
ab22y0利用参数表示，建立参数不等式．
典型例题十七
例17 在面积为1的?PMN中，tanM?以M、N为焦点且过P点的椭圆方程．
1，tanN??2，建立适当的坐标系，求出2
分析：本题考查用待定系数法求椭圆方程及适当坐标系的建立．通过适当坐标系的建立，选择相应椭圆方程，再待定系数．适当坐标系的建立能达到简化问题的目的．
解：以MN的中点为原点，MN所在直线为x轴建立直角坐标系，设P(x,y)．
?y?x?c??2,5?x???13c?y??, ∴?则?
?x?c2?y?4c且c?3??cy?1.32???4?25??1,?21522?52?12a3b?a?,,)，∴?即P(得?4 233?a2?b2?3,?b2?3.??4?4x2y2??1． ∴所求椭圆方程为153说明：适当坐标系的建立是处理好椭圆应用问题的关键．建立适当坐标系，需对题设所
给图形进行观察、分析，做好数与形的结合，本题也可以以MN的中点为原点，MN所在直线为y轴建立直角坐标系，再求椭圆方程．
用心 爱心 专心
典型例题十八
x2y2??1所截得的线段的中点，例18 已知P(4,2)是直线l被椭圆求直线l的方程． 369分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题．通常将直线方程与椭圆方程联立消去y(或
x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出x1?x2，x1x2(或
并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”y1?y2，y1y2)的值代入计算即得．
的方法，在解析几何中是经常采用的．本题涉及到直线被椭圆截得弦的中点问题，也可采用点差法或中点坐标公式，运算会更为简便．
解：
方法一：设所求直线方程为y?2?k(x?4)． 代入椭圆方程，整理得
(4k2?1)x2?8k(4k?2)x?4(4k?2)2?36?0 ①
设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1、x2是①的两根，∴
x1?x2?8k(4k?2)
4k2?1x1?x24k(4k?2)1?k??，． 224k?12∵P(4,2)为AB中点，∴4?∴所求直线方程为x?2y?8?0．
方法二：设直线与椭圆交点A(x1,y1)，B(x2,y2)．∵P(4,2)为AB中点，∴
x1?x2?8，y1?y2?4．又∵A，B在椭圆上，∴x1?4y1?36，x2?4y2?36两
式相减得(x1?x2)?4(y1?y2)?0，
即(x1?x2)(x1?x2)?4(y1?y2)(y1?y2)?0． ∴
22222222y1?y2?(x1?x2)1???．
x1?x24(y1?y2)2∴所求直线方程为x?2y?8?0．
方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y)，另一个交点B(8?x,4?y)． ∵A、B在椭圆上，∴x?4y?36 ①
22用心 爱心 专心
(8?x)2?4(4?y)2?36 ②
从而A，B在方程①－②的图形x?2y?8?0上，而过A、B的直线只有一条， ∴所求直线方程为x?2y?8?0．
说明：直线与圆锥曲线的位置关系是高考重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法．若已知焦点是(33,0)、(?33,0)的椭圆截直线
x?2y?8?0所得弦中点的横坐标是4，则如何求椭圆方程？
用心 爱心 专心