x2y2??1． 轴长为b?4?3?7的椭圆的方程：
16722说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．
典型例题八
例8 已知椭圆4x2?y2?1及直线y?x?m． （1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为
210，求直线的方程． 5分析：直线与椭圆有公共点，等价于它们的方程组成的方程组有解．因此，只须考虑方程组消元后所得的一元二次方程的根的判别式．已知弦长，由弦长公式就可求出m．
解：（1）把直线方程y?x?m代入椭圆方程4x2?y2?1得 4x2??x?m??1，即5x?2mx?m?1?0．
222 ???2m??4?5?m2?1??16m2?20?0，
2??解得?55． ?m?22（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1，x2，由（1）得
2mm2?1x1?x2??，x1x2?．
55根据弦长公式得
m2?1210?2m?? 1?1???． ??4?55?5?22解得m?0．
因此，所求直线的方程为y?x．
说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式?；解决弦长问题，一般应用弦长公式．用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．
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典型例题九
x2y2??1的焦点为焦点，过直线l：x?y?9?0上一点M作椭圆，要例9 以椭圆
123使所作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程．
分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，而这种类型的问题在初中就已经介绍过，只须利用对称的知识就可解决．
x2y2??1的焦点为F1??3，解：如图所示，椭圆0?，123F2?3，0?．
点F1关于直线l：x?y?9?0的对称点F的坐标为（－9，6），直线FF2的方程为
?x?2y?3?0x?2y?3?0．解方程组?得交点M的坐标为（－5，4）．此时MF1?MF2x?y?9?0?最小．
所求椭圆的长轴
2a?MF1?MF2?FF2?65，
∴a?35，又c?3，
222∴b?a?c?35???322?36．
x2y2??1． 因此，所求椭圆的方程为
4536说明：解决本题的关键是利用椭圆的定义，将问题转化为在已知直线上求一点，使该点到直线同侧两已知点的距离之和最小．
典型例题十
x2y2???1表示椭圆，求k的取值范围． 例10 已知方程
k?53?k分析：根据椭圆方程的特征求解．
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?k?5?0,?解：由?3?k?0,得3?k?5，且k?4．
?k?5?3?k,?∴满足条件的k的取值范围是3?k?5，且k?4．
?k?5?0,说明：本题易出现如下错解：由?得3?k?5，故k的取值范围是3?k?5．出
3?k?0,?错的原因是没有注意椭圆的标准方程中a?b?0这个条件，当a?b时，并不表示椭圆．
典型例题十一
例11 已知x2sin??y2cos??1(0????)表示焦点在y轴上的椭圆，求?的取值范围．
分析：依据已知条件确定?的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出?的取值范围．
x2y2??1． 解：方程可化为11sin?cos?11??0． cos?sin??3因此sin??0且tan???1从而??(,?)．
24因为焦点在y轴上，所以?说明：
11?0，??0，这是容易忽视的地方． sin?cos?1122(2)由焦点在y轴上，知a??，b?．
cos?sin?(3)求?的取值范围时，应注意题目中的条件0????．
(1)由椭圆的标准方程知
典型例题十二
例2 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过A(3,?2)和B(?23,1)两点的椭圆方程．
分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起
22见，可设其方程为mx?ny?1(m?0，n?0)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直
接可求出方程．
22解：设所求椭圆方程为mx?ny?1(m?0，n?0)．
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由A(3,?2)和B(?23,1)两点在椭圆上可得
22??m?(3)?n?(?2)?1,?3m?4n?1,即? ?22??12m?n?1,?m?(?23)?n?1?1,11所以m?，n?．
155x2y2??1． 故所求的椭圆方程为
155说明：此类题目中已存在直角坐标系，所以就不用建立直角坐标系了，但是这种题目一定要注意已知点和已知轨迹在坐标系中的位置关系．求椭圆的标准方程，一般是先定位（焦点位置），再定量（a，b的值），若椭圆的焦点位置确定，椭圆方程唯一；若椭圆的焦点位置不确定，既可能在x轴，又可能在y轴上，那么就分两种情况进行讨论．方法是待定系数法求椭圆的标准方程，求解时是分为根据椭圆的焦点在x轴上或y轴上确定方程的形式、根据题设条件列出关于待定系数a，b的方程组、解方程组求出a，b的值三个步骤，从而得到椭圆的标准方程．对此题而言，根据题目的要求不能判断出所求的椭圆焦点所在的坐标轴，那么就分情况讨论，这种方法解此题较繁．另一种方法直接设出椭圆的方程，而不强调焦点在哪一个坐标轴上，即不强调x和y2的系数哪一个大，通过解题，解得几种情况就是几种情况．在求椭圆方程确定焦点在哪一坐标轴上的时候，可以根据焦点坐标，也可以根据准线方程．若不能确定焦点在哪一个坐标轴上，就用上述两种方法．
2典型例题十三
例13 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点F1作倾斜解为
?的直线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长． 3分析：此类题目是求弦长问题，这种题目方法很多，可以利用弦长公式
AB?1?k2x1?x2?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2]求得，也可以利用椭圆定义及余弦定
理，还可以利用焦点半径来求．
解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．
AB?1?k2x1?x2
?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2]．
因为a?6，b?3，所以c?33． 又因为焦点在x轴上，
x2y2??1，左焦点F(?33,0)，从而直线方程为 所以椭圆方程为
369用心 爱心 专心
y?3x?9．
由直线方程与椭圆方程联立得
13x2?723x?36?8?0．
设x1，x2为方程两根， 所以x1?x2??36?8723，x1x2?，k?3，
13132从而AB?1?kx1?x2?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2]?48． 13(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．
x2y2??1，设AF由题意可知椭圆方程为1?m，BF1?n，则 369AF2?12?m，BF2?12?n．
在?AF1F2中，AF2222?AF1?F1F2?2AF1F1F2cos1； 222?3，
即(12?m)?m?36?3?2?m?63?所以m?66n?．同理在?BF中，用余弦定理得，所以 F124?34?348． 132AB?m?n?(法3)利用焦半径求解．
先根据直线与椭圆联立的方程13x?723x?36?8?0求出方程的两根x1，x2，它们分别是A，B的横坐标．
再根据焦半径AF1?a?ex1，BF1?a?ex2，从而求出AB?AF1?BF1． 说明：对于直线与椭圆的位置关系有相交、相切、相离，判断直线与椭圆的位置关系，可以利用直线方程与椭圆方程联立，看联立后方程解的个数：??0，无解则相离；??0，一解则相切；??0，两解则相交．直线与椭圆相交就有直线与椭圆相交弦问题，直线与椭圆的两交点之间的线段叫做直线与椭圆相交弦．
典型例题十四
例14 已知圆x2?y2?1，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段，求线段中点M的轨迹．
分析：本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题．这种题目一般利用中间变量(相关点)求
用心 爱心 专心