故an＝0，(4分)
1?21?当λ≠0时，a1＝1，a2＝1＋，a3＝?1＋?，(5分)
λ?λ?1?1???由2a2＝a1＋a3，得2?1＋?＝1＋?1＋?，该方程无解，(6分)
?λ??λ?综上可得：λ＝0时，数列{an}为等差数列，其中an＝0.(7分) (2) 当(1)可得：当λ＝0时，不是等比数列，(8分) 当λ＝－1时，由①得Sn＝1，则a1＝S1＝1， an＝Sn－Sn－1＝0(n≥2)，不是等比数列．(9分)
an＋111
当λ≠0，且λ≠－1时，得＝1＋，{an}为公比是q＝1＋等比数列，(10分)
anλλ1
又对任意n，an∈N，则q＝1＋∈N，
λ
故仅有λ＝1，q＝2时，满足题意，又由(1)得a1＝1，故an＝22
因为∑ai＝i＝kjk－1
2
n－1
.(11分)
（2－1）
＝2 016，
2－1
－1)＝2 016＝2×3×7，(13分)
－1为大于1的奇数，2
j－5
k－1
5
2
j－k＋1
所以2
k－1
(2
j－k＋1
j－k＋1≥2，2则2
j－5
2
j－k＋1
＝2，k＝6，(15分)
j5
－1＝3×7，2
＝64，j＝11，故仅存在k＝6时，j＝11，∑ai＝2 016.(16分) i＝k20. (本小题满分16分)
已知函数f(x)＝[ax－(2a＋1)x＋2a＋1]e. (1) 求函数f(x)的单调区间；
1
2a－1
(2) 设x>0，2a∈[3，m＋1]，f(x)≥bea恒成立，求正数b的范围．
【答案】（1）当a＝0时，函数f(x)的增区间是(－∞，0)，减区间是(0，＋∞)； 1??1??当a<0时，函数f(x)的增区间是?，0?，减区间是(0，＋∞)，?－∞，?；当a>0时，函数
a??a??
2
x
?1??1?（2）当2
f(x)的增区间是(－∞，0)?，＋∞?，减区间是?0，?；
?a??a?
1
时，0 【命题立意】本题旨在考查利用导数求函数的单调区间，考查分类讨论思想，转化思想；难度中等. 【解析】 (1) f′(x)＝(ax－x)e＝x(ax－1)e.(1分) 2 x x 若a＝0，则f′(x)＝－xe，令f′(x)>0，则x<0；令f′(x)<0，则x>0； 11 若a<0，由f′(x)>0，得 aa11 若a>0，由f′(x)<0，得0 aa综上可得： 当a＝0时，函数f(x)的增区间是(－∞，0)，减区间是(0，＋∞)；(3分) 1??1??当a<0时，函数f(x)的增区间是?，0?，减区间是(0，＋∞)，?－∞，?；(5分) a??a?? x ?1??1?当a>0时，函数f(x)的增区间是(－∞，0)?，＋∞?，减区间是?0，?(7分) ?a??a??1?(2) 因为2a∈[3，m＋1]，由(1)x∈(0，＋∞)上函数f(x)的最小值是f??. ?a? 因为f(x)≥b 2a－1 1 ea恒成立， 1 ?1?2a－1 所以f??≥bea恒成立，(8分) ?a? 11 2a－12a－1 所以ea(2a－1)≥bea恒成立，即2a－1≥b恒成立．(9分) 由2a∈[3，m＋1]，令2a－1＝t∈[2，m]，则t≥b，所以lnb≤ t lnt t ＝g(t)，(10分) 1－lnt 由g′(t)＝，可知函数g(t)在(0，e)上递增；(e，＋∞)上递减，且g(2)＝g(4)．(112 t分) 当2 ln2 2 ，从而lnb≤ ln2 2 ，解得0 当m>4时，g(t)min＝g(m)＝ lnm m ，从而lnb≤ lnm m 1 ，解得0 1 故：当2 第二部分（加试部分） 21. 【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．解答时．．．．．．应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. 选修4—1：几何证明选讲 在直径是AB的半圆上有两点M，N，设AN与BM的交点是P. 求证：AP·AN＋BP·BM＝AB. 2 (第21—A题图) 【答案】略． 【命题立意】本题旨在考查圆的几何性质，圆周角的关系．考查运算求解能力，难度较小． 【解析】证明：作PE⊥AB于E， 因为AB为直径， 所以∠ANB＝∠AMB＝90°(2分) 所以P，E，B，N四点共圆，P，E，A，M四点共圆．(6分) ??AE·AB＝AP·AN （1）?(8分) ?BE·AB＝BP·BM （2）? (1)＋(2)得AB(AE＋BE)＝AP·AN＋BP·BM(9分) 即AP·AN＋BP·BM＝AB(10分) 2 (第21题A图) B. 选修4—2：矩阵与变换 求矩阵? ?3 ?1 1?3? ?的特征值及对应的特征向量． ?1??1? 【答案】属于λ1＝2的一个特征向量为??，属于λ1＝4的一个特征向量为??． ?－1??1? 【命题立意】本题旨在考查矩阵特征值与特征向量的运算．考查运算求解能力，难度较小． 【解析】特征多项式f(λ)＝| λ－3－1 －1λ－3 |＝(λ－3)－1＝λ－6λ＋8(3分) 2 2 由f(λ)＝0，解得λ1＝2，λ2＝4(6分) ??－x－y＝0， 将λ1＝2代入特征方程组，得? ?－x－y＝0? ?1? ?x＋y＝0，可取??为属于特征值λ1＝2的一个特征向量(8分) ?－1? ??x－y＝0， 同理，当λ2＝4时，由??x－y＝0， ?－x＋y＝0? ?1? 所以可取??为属于特征值λ2＝4的一个特征向量． ?1? 综上所述，矩阵? ?21? ?有两个特征值λ1＝2，λ2＝4； ?12? ?1??1? 属于λ1＝2的一个特征向量为??，属于λ1＝4的一个特征向量为??，(10分) ?－1??1? C. 选修4—4：坐标系与参数方程 ?π??x＝2cos θ，?已知直线l的极坐标方程为ρsin?θ－?＝3，曲线C的参数方程为?(θ为参 3???y＝2sin θ? 数)，设P点是曲线C上的任意一点，求P到直线l的距离的最大值． 【答案】5． 【命题立意】本题旨在考查参数方程与普通方程的转化，点到直线的距离．考查运算能力和转化能力，难度较小． π??【解析】由ρsin?θ－?＝3，可得： 3??3?1? ρ?sinθ－cosθ?＝3 2?2? 所以y－3x＝6即：3x－y＋6＝0(3分) ??x＝2cosθ22 由?得x＋y＝4，圆的半径为r＝2(6分) ?y＝2sinθ? 6 所以圆心到直线l的距离d＝＝3(8分) 2 所以，P到直线l的距离的最大值为d＋r＝5.(10分) D. 选修4—5：不等式选讲 设x，y均为正数，且x>y，求证：x＋【答案】略． 【命题立意】本题旨在考查基本不等式及其应用．考查运算求解能力，难度较小． 【解析】证明：x－y＋＝ 44 2＝(x－y)＋2(3分) x－2xy＋y（x－y） 2 4 ≥y＋3. x－2xy＋y2 2 x－yx－y2＋2 ＋4 2，(5分) （x－y） 因为x>y，x－y>0， 所以 x－yx－y2＋4＋2 2（x－y） 3x－yx－y4 ≥3××2＝3， 22（x－y）当且仅当 x－yx－y2＝4 ＝2取等号，此时x－y＝2.(10分) 2（x－y） 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. (本小题满分10分) 如图，在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，A1E＝CF＝1. (1) 求两条异面直线AC1与BE所成角的余弦值； (2) 求直线BB1与平面BED1F所成角的正弦值． (第22题图) 【答案】（1） 39314；（2）． 3914 【命题立意】本题旨在考查空间直角坐标系的建立，空间向量的应用，空间异面直线所成角、线面所成角的求解与应用等．考查空间想象能力和识图能力，难度中等.