(a) (b) (c)
图7-9 例7-1图
【解】（1）求支座反力，考虑梁的整体平衡
?MB?0 F1?5?F2?2?RA?6?0
?MA?0 ?F1?1?F2?4?RB?6?0
得 RA?35 kN(↑)， RB?25 kN(↑) 校核 ?Y?RA?RB?F1?F2?35?25?30?30?0 (2) 求截面1-1上的内力
在截面1-1处将梁截开，取左段梁为研究对象，画出其受力，内力Q1和M1均先假设为正的方向（图7-9b），例平衡方程
?Y?0 RA?F1?Q1?0
?M1?0 ?RA?2?F1?1?M1?0 得 Q1?RA?F1?35?30?5kN
M1?RA?2?F1?1?35?2?30?1?40kN·m
求得Q1和M1均为正值，表示截面1-1上内力的实际方向与假定的方向相同；按内力的符号规定，剪力、弯矩都是正的。所以，画受力图时一定要先假设内力为正的方向，由平衡方程求得结果的正负号，就能直接代表内力本身的正负。
如取1-1截面右段梁为研究对象（图7-9c），可得出同样的结果。 【例7-2】 悬臂梁，其尺寸及梁上荷载如图7-10所示，求截面1-1上的剪力和弯矩。
(a) (b)
图7-10 例7-2图
【解】对于悬臂梁不需求支座反力，可取右段梁为研究对象，其受力图如图7-10b所示。
?Y?0 Q1?qa?F?0
?M1?0
?M1?qa?a?Fa?02
得 Q1?qa?F?4?2?5?13kN
qa24?22M1???Fa???5?2??1822 kN·m
求得Q1为正值，表示Q1的实际方向与假定的方向相同；M1为负值，表示M1的实际方向与假定的方向相反。所以，按梁内力的符号规定，1-1截面上的剪力为正，弯矩为负。
★7.2.2 直接用外力计算截面上的剪力和弯矩
通过上述例题，可以总结出直接根据外力计算梁内力的规律。 1．剪力的规律
计算剪力是对截面左（或右）段梁建立投影方程，经过移项后可得
FQ??F左 或FQ??F右
上两式说明：梁内任一横截面上的剪力在数值上等于该截面一侧所有外力在垂直于轴线方向投影的代数和。若外力对所求截面产生顺时针方向转动趋势时，等式右方取正号（参见图7-7a）；反之，取负号（参见图7-7b）。此规律可记为“顺转剪力正”。
2．求弯矩的规律
计算弯矩是对截面左（或右）段梁建立力矩方程，经过移项后可得
M??MC左 或 M??MC右
上两式说明：梁内任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面一侧所有外力（包括力偶）对该截面形心力矩的代数和。将所求截面固定，若外力矩使所考虑的梁段产生下凸弯曲变形时（即上部受压，下部受拉），等式右方取正号（参见图7-8a）；反之，取负号（参见图7-8b）。此规律可记为“下凸弯矩正”。
利用上述规律直接由外力求梁内力的方法称为简便法。用简便法求内力可以省去画受力图和列平衡方程从而简化计算过程。现举例说明。
【例7-3】 用简便法求图7-11所示简支梁1-1截面上的剪力和弯矩。 【解】 ⑴求支座反力。由梁的整体平衡求得 RA?8 kN（↑）， RB?7 kN（↑） ⑵计算1-1截面上的内力
由1-1截面以左部分的外力来计算内力，根据“顺转剪力正”和“下凸弯矩正”得
Q1?RA?F1?8?6?2 kN
M1?RA?3?F1?2?8?3?6?2?12 kN?m
图7-11 例7-3图
MAD中?12?8ql2AD?12?82?42?????2 kN?m2828
【小 结】
本节讲述了梁的弯曲内力剪力与弯矩计算方法及步骤。注意：剪力与弯矩
正负号的规定，掌握用简捷法求剪力与弯矩。
【课后作业】
教材：P135.习题1.
7.3 用内力方程绘制梁的内力图
【教学要求】
用内力方程法绘制剪力图和弯矩图。
【重 点】
举例讲解用内力方程法绘制剪力图和弯矩图；
【难 点】
列内力方程确定未知量定义域。
【授课方式】 课堂讲解 【教学时数】 共计2学时 【教学过程】
为了计算梁的强度和刚度问题，除了要计算指定截面的剪力和弯矩外，还必须知道剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，从而找到梁内剪力和弯矩的最大值以及它们所在的截面位置。
7.3.1 剪力方程和弯矩方程
从上节的讨论可以看出，梁内各截面上的剪力和弯矩一般随截面的位置而变化的。若横截面的位置用沿梁轴线的坐标x来表示，则各横截面上的剪力和弯矩都可以表示为坐标x的函数，即
Q?Q(x)， M?M(x)
以上两个函数式表示梁内剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，分别称为剪力方程和弯矩方程。
7.3.2 剪力图和弯矩图
为了形象地表示剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，可以根据剪力方程和弯矩方程分别绘制剪力图和弯矩图。以沿梁轴线的横坐标x表示梁横截面的位置，以纵坐标表示相应横截面上的剪力或弯矩，在土建工程中，习惯上把正剪力画在x轴上方，负剪力画在x轴下方；而把弯矩图画在梁受拉的一侧，即正弯矩画在x轴下方，负弯矩画在x轴上方。如图7-12所示。 Q OOxx M图7-12画剪力图和弯矩图的规定
【例7-4】 简支梁受均布荷截作用如图7-13a所示，试画出梁的剪力图和弯矩图。
【解】（1）求支座反力 因对称关系，可得
RA?RB?1ql2 (↑)
(2)列剪力方程和弯矩方程
取距A点为x处的任意截面，将梁假想截开，考虑左段平衡，可得
(a) (b) (c)
图7-13 例7-4图
Q(x)?RA?qx?M(x)?RAx?1ql?qx (0?x?l)2 (1)
1211qx?qlx?qx2 (0?x?l)222 (2)
(3)画剪力图和弯矩图
由式(1)可见，Q(x)是x的一次函数，即剪力方程为一直线方程，剪力图是一条斜直线。
当 x?0 时
QA?ql2
ql2 x?l 时
QB??根据这两个截面的剪力值，画出剪力图，如图7-13b所示。