由式(2)知，Ｍ(x)是x的二次函数，说明弯矩图是一条二次抛物线，应至少计算三个截面的弯矩值,才可描绘出曲线的大致形状。
当 x?0 时， MA?0
ql2lMC?x?8 2 时， x?l 时， MB?0
根据以上计算结果，画出弯矩图，如图7-13c所示。
从剪力图和弯矩图中可知，受均布荷载作用的简支梁，其剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线；最大剪力发生在两端支座处，绝对值为
QMmax??1ql2；而最大弯矩发生在剪力为零的跨中截面上，其绝对值为
max12ql8。
结论：在均布荷载作用的梁段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。在剪力等于零的截面上弯矩有极值。
【例7-5】 简支梁受集中力作用如图7-14a所示，试画出梁的剪力图和弯矩图。
【解】(1)求支座反力 由梁的整体平衡条件
?MB?0， RA?Fbl(↑) Fal(↑)
?Y?RA?RB?F?FbFa??F?0ll
?MA?0，
RB?校核：
计算无误。
(2)列剪力方程和弯矩方程
梁在C处有集中力作用，故AC段和CB段的剪力方程和弯矩方程不相同，要
分段列出。
(a)
(b)
(c)
图7-14 例7-5图
AC段：距A端为x1的任意截面处将梁假想截开，并考虑左段梁平衡，列出剪力方程和弯矩方程为
Q(x1)?RA?Fb (0?x1?a)l (1) Fbx1 (0?x1?a)l (2)
M(x1)?RAx1?CB段：距A端为x2 的任意截面外假想截开，并考虑左段的平衡，列出剪力方程和弯矩方程为
Q(x2)?RA?F?FbFa?F?? (a?x2?l)ll (3)
Fa(l?x2) (a?x2?l)l (4)
M(x2)?RAx2?F(x2?a)? (3)画剪力图和弯矩图
根据剪力方程和弯矩方程画剪力图和弯矩图。
FbQ图：AC段剪力方程Q(x1)为常数，其剪力值为l，剪力图是一条
平行于x轴的直线，且在x轴上方。CB段剪力方程Q(x2)也为常数，其剪力值为
?Fal，剪力图也是一条平行于x轴的直线，但在x轴下方。画出
全梁的剪力图，如图7-14b所示。
M图：AC段弯矩M(x1)是x1的一次函数，弯矩图是一条斜直线，只
要计算两个截面的弯矩值，就可以画出弯矩图。
当 x1?0 时 MA?0
x1?a 时
MC?Fabl
根据计算结果，可画出AC段弯矩图。
CB段弯矩M(x2)也是x2的一次函数，弯矩图仍是一条斜直线。 当 x2?a 时
MC?Fabl
x2?l 时 MB?0
由上面两个弯矩值，画出CB段弯矩图。整梁的弯矩图如图7-14c所示。
从剪力图和弯矩图中可见，简支梁受集中荷载作用，当 a>b时，
Qmax?FaMl，发生在BC段的任意截面上；
max?Fabl，发生在集中
力作用处的截面上。若集中力作用在梁的跨中，则最大弯矩发生在梁的
跨中截面上，其值为：
Mmax?Fl4。
结论：在无荷载梁段剪力图为平行线，弯矩图为斜直线。在集中力作用处，左右截面上的剪力图发生突变，其突变值等于该集中力的大小，突变方向与该集中力的方向一致；而弯矩图出现转折，即出现尖点，尖点方向与该集中力方向一致。
【例7-6】 如图7-15a 所示简支梁受集中力偶作用，试画出梁的剪力图和弯矩图。
【解】(1)求支座反力 由整梁平衡得
?MB?0, ?MA?0,
RA?ml（↑）
ml（↓） (a)
RB??
校核：
?Y?RA?RB?mm??0ll
计算无误。 （2）列剪力方程和弯矩方程
在梁的Ｃ截面的集中力偶m 作用， (b) 分两段列出剪力方程和弯矩方程。
AC 段：在 A 端为x1的截面处 假想将梁截开，考虑左段梁平衡， (c) 列出剪力方程和弯矩方程为
Q(x1)?RA?m (0?x1?a)l （1） mx1 (0?x1?a)l （2）
M(x1)?RAx1?图7-15 例7-6图
CB段：在 A 端为x2的截面处假想将梁截开，考虑左段梁平衡，列出剪力方程和弯矩方程为
Q(x2)?RA?m (a?x2?l)l (3)
m(l?x2) (a?x2?l)l (4)
M(x2)?RAx2?m??(3)画剪力图和弯矩图
Q图：由式（1）、（3）可知，梁在AC段和CB段剪力都是常数，其
m值为l，故剪力是一条在x轴上方且平行于x轴的直线。画出剪力图如
图7-15 b所示。
M图：由式（2）、（4）可知，梁在AC段和CB段内弯矩都是x的一次函数，故弯矩图是两段斜直线。
AC 段：
当x1?0时， MA?0
x1?a时，
CB段：
MC左?mal
当x2?a时，
M2右??mbl
当x2?l时， MB?0
画出弯矩图如图7-15c所示。
由内力图可见，简支梁只受一个力偶作用时，剪力图为同一条平行线，而弯矩图是两段平行的斜直线，在集中力偶处左右截面上的弯矩发生了突变。
结论：梁在集中力偶作用处，左右截面上的剪力无变化，而弯矩出现突变，其突变值等于该集中力偶矩。
【小 结】
本节讲述了利用内力方程作梁的内力图的方法，理解做内力图的意义。
【课后作业】
教材：P135.习题2.
7.4 用微分关系画剪力图和弯矩图
【教学要求】
用微分关系绘制剪力图和弯矩图。
【重 点】
举例讲解用微分关系法绘制剪力图和弯矩图；
【难 点】
根据q和剪力与弯矩的关系，正确判定各梁段内力图的形状。
【授课方式】 课堂讲解 【教学时数】 共计2学时 【教学过程】
7.4.1 M(x)、FQ (x)、q(x)之间的微分关系
上一节从直观上总结出剪力图、弯矩图的一些规律和特点。现进一