步讨论剪力图、弯矩图与荷载集度之间的关系。
如图7-16a所示，梁上作用有任意的分布荷载q(x)，设q(x)以向上为正。取A为坐标原点， x轴以向右为正。现取分布荷载作用下的一微段dx来研究(图7-16b)。
(a) (b)
图7-16 荷载与内力的微分关系
由于微段的长度dx非常小，因此，在微段上作用的分布荷载q(x)可以认为是均布的。微段左侧横截面上的剪力是Q(x)、弯矩是M(x)；微段右侧截面上的剪力是Q(x)?dQ(x)、弯矩是M(x)?dM(x)，并设它们都为正值。考虑微段的平衡，由
?Y?0 Q(x)?q(x)dx?[Q(x)?dQ(x)]?0
dQ(x)?q(x)dx得 （7-1）
结论一：梁上任意一横载面上的剪力对x的一阶导数等于作用在该截面处的分布荷载集度。这一微分关系的几何意义是，剪力图上某点切线的斜率等于相应截面处的分布荷载集度。 再由?Mc?0
?M(x)?Q(x)dx?q(x)dxdx?[M(x)?dM(x)]?02
dx2q(x)2上式中，Ｃ点为右侧横截面的形心， 经过整理，并略去二阶微量
后，
dM(x)?Q(x)得dx （7-2）
结论二：梁上任一横截面上的弯矩对x的一阶导数等于该截面上的剪力。这一微分关系的几何意义是，弯矩图上某点切线的斜率等于相应截面上剪力。
将式（7-2）两边求导，可得
d2M(x)?q(x)2dx （7-3）
结论三：梁上任一横截面上的弯矩对x的二阶导数等于该截面处的分布荷载集度。这一微分关系的几何意义是，弯矩图上某点的曲率等于相应截面处的荷载集度，即由分布荷载集度的正负可以确定弯矩图的凹凸方向。
(二)、用微分关系法绘制剪力图和弯矩图
利用弯矩、剪力与荷载集度之间的微分关系及其几何意义。可总结出下列一些规律，以用来校核或绘制梁的剪力图和弯矩图。
1．在无荷载梁段，即q(x)?0时
由式(7-1)可知，Q(x)是常数，即剪力图是一条平行于x轴的直线；又由式(7-2)可知该段弯矩图上各点切线的斜率为常数，因此，弯矩图是一条斜直线。
2．均布荷载梁段，即q(x)?常数时
由式(7-1)可知，剪力图上各点切线的斜率为常数，即Q(x)是x的一次函数，剪力图是一条斜直线；又由式(9-2)可知，该段弯矩图上各点切线的斜率为x的一次函数，因此，M(x)是x的二次函数，即弯矩图为二次抛物线。这时可能出现两种情况，如图7-17所示。
q?0(?) q?0(?) M M
图7-17 M图的凹凸向与q(x)的关系 3．弯矩的极值
dM(x)?Q(x)?0由dx可知，在Q(x)?0的截面处，M(x)具有极值。即剪
力等于零的截面上，弯矩具有极值；反之，弯矩具有极值的截面上，剪力一定等于零。
利用上述荷载、剪力和弯矩之间的微分关系及规律，可更简捷地绘制
梁的剪力图和弯矩图，其步骤如下：
（1）分段，即根据梁上外力及支承等情况将梁分成若干段； （2）根据各段梁上的荷载情况，判断其剪力图和弯矩图的大致形状； （3）利用计算内力的简便方法，直接求出若干控制截面上的Q值和M值；
（4）逐段直接绘出梁的Q图和M图。
(a)
(b)
RD
Q图(kN)
8
(c)
8
M图(kN·m)
16
例7-7图 图7-18
【例7-7】 一外伸梁，梁上荷载如图7-18a所示，已知l＝４m，利用
微分关系绘出外伸梁的剪力图和弯矩图。
【解】（1）求支座反力
RB?20kN（↑），
RD?8kN（↑）
（2）根据梁上的外力情况将梁分段，将梁分为AB、BC和CD三段。 （3）计算控制截面剪力，画剪力图
AB段梁上有均布荷载，该段梁的剪力图为斜直线，其控制截面剪力为
QA?0
11QB左??ql???4?4??8 kN22
BC和CD段均为无荷截区段，剪力图均为水平线，其控制截
1QB右??ql?RB??8?20 ?12 kN2剪力为
QD??RD??8 kN
画出剪力图如图7-7b所示。
（4）计算控制截面弯矩，画弯矩图
AB段梁上有均布荷载，该段梁的弯矩图为二次抛物线。因q向下（q<0），所以曲线向下凸，其控制截面弯矩为
MA?0
1l1MB??ql????4?42??8 kN?m248
BC段与CD段均为无荷截区段，弯矩图均为斜直线，其控制截面弯矩为
MB??8 kN?m
MC?RD?l?8?2?16 kN?m2
MD?0
画出弯矩图如图7-7c所示。
从以上看到，对本题来说，只需算出QB左、QB右、QD左和MB、MC，就可画出梁的剪力图和弯矩图。
【例7-8】 一简支梁，尺寸及梁上荷载如图7-19a所示，利用微分关系绘出此梁的剪力图和弯矩图。
【解】（1）求支座反力
RA?6kN（↑） RC?18 kN（↑）
(a)
(b)
(c)
图7-19 例7-8图
12
24
Q图(kN)
M图(kN·m)
（2）根据梁上的荷载情况，将梁分为AB和BC两段，逐段画出内力图。
（3）计算控制截面剪力，画剪力图
AB段为无荷载区段，剪力图为水平线，其控制截面剪力为 QA?RA?6 kN
BC为均布荷载段，剪力图为斜直线，其控制截面剪力为 QB?RA?6 kN
QC??RC??18 kN 画出剪力图如图7-19b所示。
（4）计算控制截面弯矩，画弯矩图
AB段为无荷载区段，弯矩图为斜直线，其控制截面弯矩为 MA?0
MB左?RA?2?12 kN?m
BC为均布荷载段，由于q向下，弯矩图为凸向下的二次抛物线，其控制截面弯矩为
MB右?RA?2?Me?6?2?12?24 kN?m MC?0
从剪力图可知，此段弯矩图中存在着极值，应该求出极值所在的截面位置及其大小。
设弯矩具有极值的截面距右端的距离为x，由该截面上剪力等于零的条件可求得x值，即 Q(x)??RC?qx?0
x?Rc18 ??3 mq6
弯矩的极值为
Mmax126 ?32 ?RC?x?qx?18 ?3 ??27 kN?m22
画出弯矩图如图7-19c所示。
对本题来说，反力RA、RC求出后，便可直接画出剪力图。而弯矩图，也只需确定MB左 、MB右 及Mmax值，便可画出。