五、综合题
1、设单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)?试求相应的?值及相角裕度?。 解：由题意可列：G(j?)?10(?s?1)，若要求系统截止频率?c?4，
s2(2s?1)10(1?j??)
(j?)2(1?2j?) 其幅频特性与相频特性为：
A(?)?G(j?)?101?(??)2?21?4?2
?(?)??G(j?)??180??arctan???arctan2? 令A(?c)?1，有
4?c6??c4?100 ??
10?c 于是相角裕度
??180???(?c)?arctan??c?arctan2?c
由?c?4代入以上式子得到： ??3.215， ??2.68? 2、已知最小相位系统Bode图的渐近幅频特性如下图所示，试计算该系统在r(t)?下的稳定误差和相角裕度。
12t作用2
dB20lg|G(jω)|4020-20dB/dec01-20-40 解：由题图可确定系统开环传递函数：
-40ω1410ωc100ω2200-401000ω?1?K?s?1??4?G(s)??1?s2?s?1??200? g? 其中K满足方程 20lK4 0 K?100
?1?100?s?1??4?G(s)??1?s2?s?1??200? 即，系统开环传递函数为：
由系统开环传递函数可以看出系统为Ⅱ型，且开环增益K?100。
12t作用下系统的稳态误差为： 211ess???0.01K100
则当r(t)?由题意我们可得剪切频率
?c满足方程
1100??c4?12 则相角裕度为
?c
?c?100?254
??180???(?c)?180????180??arctan???c4?arctan?73.8??200??c?25?c?
3、已知单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)?（1） 使系统幅值裕度为20dB的K值； （2） 使系统的相角裕度为60的K值。 解：(1) 系统开环频率特性为G(j?)?K，试求： 2s(0.2s?1)K 2j?(1?0.2j?) 当h(dB)?20dB时，令?g为相角交界频率（穿越频率），于是有
G(j?g)??90?2arctan0.2?g??180
arctan0.2?g?45
?g?5
?20lgG(j?g)?20
lgG(j?g)??1，G(j?g)?0.1
故由
K?0.1 可求得K?1 2?g(0.2?g)?1（2）当??60时，由定义得
??180?G(j?g)?180?(?90?2arctan0.2?c)?60
arctan0.2?c?15
得系统截止频率?c?1.34 由G(j?c)?K?1可求得K?1.436 2?c(0.2?c)?1K(s?3)，试绘制其根轨迹图。
s(s?2)4、已知负反馈系统开环传递函数为G(s)H(s)?解：（1）起点在?p1= ?，?p2= ?2处，终点在?z1= ?3及无穷远处。 （2）实轴上的根轨迹分布在?～?2之间和?3～?∞之间。 （3）渐近线：n=2，m=1，因此有
????p??zjj?1i?1nmin?m??(0?2)?3?1
2?1?180?(2k?1)????180?
2?1所以，渐近线为整个负实轴，有一条根轨迹沿实轴趋于?∞ （4）分离会合点：?1s11 ?s?2s?3由上式求得s??3?3，即s1 = -1.27（分离点），相应K＝0.54 s2 = -4.73（会合点），相应K＝7.46 （5）绘出根轨迹如图：