三．计算题：
7．有两个同方向、同频率的谐振动，其合成振动的振幅为0.20 m，相位与第一振动的相差为 ? / 6，已知第一振动的振幅为0.173 m，求第二振动的振幅以及第一、第二两振动之间的相差。
解 如图，用余弦定理
A2?A1?A2?2A1Acos?6?0.1(m)
2A=0.20m
A2
?=π/6 A1=0.173m
θ cos??A?A?A2?0????2，
2A1A22212即相差为????
?2
8．质量为0.10 kg的物体，以振幅1.0×10 -2 m作简谐运动，其最大加速度为4.0 m . s -2。求：⑴ 振动的周期；⑵ 物体通过平衡位置时的总能量与动能；⑶ 物体在何处其动能与势能相等？⑷ 当物体的位移大小为振幅的一半时，动能、势能各占总能量的多少？ 解 ⑴由am?A?2，得??⑵在平衡位置E?Ek?am2???s； ?20rad/s，所以T??10A11m?2A2?mamA?3?10?3J； 2211222222⑶由EP?m?Acos(?t??)Ek?m?Asin(?t??)，要使Ek?Ep，
22必有cos(?t??)?sin(?t??)?0.5，所以cos(?t??)??222， 2则x??2A??0.71?10?2m； 2112，则有cos(?t??)?24⑷由题意有cos(?t??)?亦即EP?
sin2(?t??)?3， 41E4Ek?3E 4第12-1 平面简谐波
一．填空题：
1．如图是沿x轴正向传播的平面简谐纵波在某时刻的波形图，质点的位移由x轴逆时针方向旋转 π/ 2的y坐标来表示，则在该时刻媒质质点O，a，b，c，d中运动方向向右的是 b，c ，运动方向向左的是 O，a，d 。
2．位于原点的波源产生的平面波以u = 10 m / s的波速沿x轴正方向传播，使得x=10 m处的P点振动规律为 y = 0.05 cos (2 ? t - ? / 2 )，该平面波的波动方程为：
y a O b c d x y?0.05cos?2?(t?x10)?3?2?。
3．已知一平面简谐波的波动方程为y = 0.1 cos (3 t-6 x) m，则周期是2?2 m的两点间相差是 12rad 。
3s，波线上相距y 二．选择题：
4．图中曲线表示t=0时刻正行波的波形图，0点的振动初相是：( A ) (A) -π/ 2
(B) 0
(C) π/ 2
(D) π
u t = 0 x O 三．计算题：
5．已知波源在原点（x = 0）的平面谐波的方程为y = A cos ( B t - C x )，式中A、B、C为正值恒量，试求：⑴ 波的振幅、波速、频率、周期与波长；⑵ 写出传播方向上距离波源L处一点的振动方程；⑶ 试求任何时刻，在波传播方向上相距为D的两点的相差。 解：
（1） 振幅：A；波速：u??v?BC；频率：?=B2?；周期：T?2?B；波长：
??2?C。
（2） y?Acos(Bt?CL) （3） ???C?D
6．已知平面余弦波波源的振动周期T=0.5 s，所激起的波长为? = 10 m，振幅为0.1 m，当t = 0时，波源处振动的位移恰为正方向最大值，取波源为原点并设波沿 + x方向传播，求：⑴ 此波的方程； ⑵ 沿波传播方向距离波源为?/2处的振动方程；⑶ 当t = T / 4时波源和距离波源为 ? / 2的点离开平衡位置的位移；⑷ 当t = T / 4时，距离波源? / 4处质点的振动速度。
解：（1）由旋转矢量法可以初相位：??0
则此波动方程为y?0.1cos?2???2???t?x????0.1cos?4?t??5?T???x?m ? （2）振动方程：y?0.1cos?4?t??????5??0.1cos?4?t???m 5? （3）x?0：y?0.1cos?4???0.5????0??0 45?0.5?10?????0 452? x??2：y?0.1cos?4??? （4）v??y????0.1?4?sin?4?t??t5????x???0.4sin?4?t?5???x?m ?s x??4, t?T??：v??0.4sin?4?t?45???0.5?10?x???0.4sin?4?????0
454???7．如图所示是一平面余弦波在t = 0.25 s时刻的波形图，波速为u = 40 m/s，沿x的正方向传播，写出此波的波动方程。 解：从图可得：A?0.1m, u?40m/s, ??40m 有T??u?1s, ??2?T?2? 设波动方程为y?0.1cos?2?t? 对o点用旋转矢量法分析可得： 2??0.25?y(m) 0.1 u x(m) O -0.1 10 30 40 ???x??? 20???20?0????2，即得??0
波动方程为：y?0.1cos?2?t????x?m 20??第12-2 波函数的物理意义 波的能量 一．选择题：
1．一列机械横波在t时刻的波形曲线如图所示，则该时刻能量最大值的媒质质元的位置是：( B ) (A) O’，b，d，f (B) a，c，e，g (C) O’，d (D) b，f
2．当一平面简谐机械波在弹性媒质中传播时，下述各结论哪个是正确的？( D ) (A) 媒质质元的振动动能增大时，其弹性势能减小，总机械能守恒。 (B) 媒质质元的振动动能和弹性势能都作周期性变化，但二者的相位不相同。 (C) 媒质质元的振动动能和弹性势能的相位在任一时刻都相同，但二者的数值不相等。 (D) 媒质质元在其平衡位置处弹性势能最大。
3．一平面简谐波沿x轴负方向传播。已知x= x0处质点的振动方程为y?Acos(?t??0)。若波速为u，则此波的表达式为( A ) (A) y?Acos{?[t?(x0?x)/u]??0} (B) y?Acos{?[t?(x?x0)/u]??0} (C) y?Acos{?t?[(x0?x)/u]??0} (D) y?Acos{?t?[(x0?x)/u]??0}
y(m) O’ a b c d e u O g x(m) f 二．填空
4．一平面简谐波，频率为300 Hz ，波速为340 m / s ，在截面面积为3×10-2 m2 的管内空气中传播，若在10 s内通过截面的能量为2.7×10-2 J，则通过截面的平均能流为
?32.7?1?30wm-2；波的平均能量密度为 ；波的平均能流密度为9.0?10w?32.6?1?40?J-m。
5．一平面谐波在媒质中传播时，若一媒质质元在t时刻的波的能量是10 J，则在 ( t+T ) （T为波的周期）时刻该媒质质元的振动动能是 5J 。
三．计算题：
6．一平面简谐波在介质中以速度u = 200 m/s自左向右传播，已知在传播的路径上某质点A的振动方程为y=3 cos(4πt -π) (SI)，D点在A点右方9 m处。若取x轴方向向左，并以A为坐标原点，试写出波动方程，并求出D点振动方程。
解：A为坐标原点,即波源,其振动方程为
y0?3cos?4t???
y u x A D x??则波动方程为y?3cos?4?(t?)???200??9??yD?3cos?4?(t?)??? （SI） D点振动方程为200???3cos(4?t?1.18?)7．某质点作简谐振动，周期为2 s，振幅为0.06 m，t = 0 时刻，质点恰好处在负向最大位移处，求：⑴ 该质点的振动方程； ⑵ 此振动以波速u = 2 m / s沿x轴正方向传播时，形成的一维简谐波的波动表达式（以该质点的平衡位置为坐标原点）； ⑶ 该波的波长。 解 (1) 振动方程 y0?0.06cos(2?t??)?0.06cos(?t??) (SI) 2(2) 波动表达式 y?0.06cos[?(t?x/u)??]
?0.06cos[?(t?1x)??] (SI) 2 (3) 波长 ??uT?4 m