3.已知某产品的边际成本C?(q)=2（元/件），固定成本为0，边际收益
R?(q)?12?0.02q，求：
①产量为多少时利润最大？
②在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？ 答案：①当产量为500件时，利润最大.
② ?L? - 25 （元）即利润将减少25元.
4厂家生产一种产品的需求函数为q=720-80p(单位：件)，而生产q件该产品时的成本函数
为C（q）=4q+160(单位：元)，问生产多少件产品时厂家获得的利润最大？ 解:
L?R?C?pq?(4q?160)?720?q11q?4q?160??q2?5q?160 故L'??q?5 808040所以当q?200时, L'?0. 由实际问题可知:当q?200件时利润最大为:340元
5.．某厂家生产某种产品q件时的总成本函数为C（q）=20+4q+0.01q2(元)，单位销售价格为p=24-0.01q(元/件)，问产量为多少时可使利润达到最大？此时的最大利润是多少。 解:
L?R?C?pq?(20?4q?0.01q2)?(24?0.01q)q?20?4q?0.01q2 ??0.02q2?20q?20 故L'??0.04q?20
所以当q?500时, L'?0. 由实际问题可知:当q?500件时利润最大为:4980元
6.已知某产品的边际成本函数为C(q)?4q（万元/百台），边际收入为R?(q)?60?2q（万元/百台），如果该产品的固定成本为10万元，求： (1)产量为多少时总利润L（q）最大？
(2)从最大利润产量的基础上再增产200台，总利润会发生什么变化 解: （1）L'(q)?R'(q)?C'(q)?60?2q?4q?60?6q
当q?10时 L'(q)?0. 由实际问题可知:当q?10(百台)时利润最大。
（2）?L?L(12)?L(10)?12?1210L'(q)dq??(60?6q)dq
10121012??(60?6q)dq?60q?3q210??12（万元）
总利润下降12万元。
7．生产某产品的边际成本为C?(x)=8x(万元/百台)，边际收入为R?(x)=100-2x（万元/百台），其中x为
产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？
解: L'(x)?R'(x)?C'(x)?100?2x?8x?100?10x
当x?10时 L'(x)?0. 由实际问题可知:当x?10(百台)时利润最大。
(12)?L(10?) ?L?L?(100x?5x)21210?1210Lx'(dx)??1210(1?00x 1d0x)??20（万元）
再生产2百台，利润将下降20万元。
8．投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为C?(x)=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低.
22解:C(x)?(2x?40)dx?x?40x?c ?C(x)?x 6?40x?3?C(6)?C(4)??(2x?40)dx?(x2?40x)?36?240?(16?160)?100(万元)
4466即产量由4百台增至6百台时总成本的增量为100万元。 平均成本C(x)?C(x)3636?'?1?2 当x??6（负舍）时，?C(x)?'?0 ?x?40?C(x) ，?????xxx由实际问题可知:当x?6百台时平均成本达到最低.
9．设生产某商品固定成本是20元，边际成本函数为C(q)?0.4q?2（元/单位），求总成本函数C（q）。如果该商品的销售单价为22元且产品可以全部售出，问每天的产量为多少个单位时可使利润达到最大？最大利润是多少？
22解:C(q)?(0.4q?2)dq?0.2q?2q?c ?C(q)?0.2q?2q? 20?L?R?C?pq?(0.2q2?2q?20)?22q?0.2q2?2q?20 故L'??0.4q?20
所以当q?50时, L'?0. 由实际问题可知:当q?50时利润最大为:480元
10已知某产品的边际成本C?(q)?4q?3（万元/百台），q为产量（百台），固定成本为18（万元），求⑴该产品的平均成本．⑵最低平均成本．
解:
2（1）C?C?(q)dq?(4q?3)dq?2q?3q?18
??C(q)18?2q?3? qq1818 C??2?2，令C??2?2?0，解得唯一驻点x?6（百台）
qq平均成本函数
C?因为平均成本存在最小值，且驻点唯一，所以，当产量为600台时，可使平均成本达到最低。
（2）最低平均成本为
C(6)?2?6?3?18?12（万元/百台） 6
二积分学
（一）填空题 1.若2.
?xf(x)dx?2x?2x?c，则f(x)?__________.答案：2ln2?2 _________?(sinx)?dx?________.答案：sinx?c
3. 若
?f(x)dx?F(x)?c，则?xf(1?x2)dx? .答案：?1F(1?x2)?c 24d?cosxdx= cosxdx。
5 函数f(x)= 3x的一个原函数是3xln3。
6 函数f (x) = sin2x的原函数是?12cos2x?c
7 .ddx?sin2xdx=sin2x。 8．
?1sin2xdx??cotx?c
9.若f?(x)存在且连续，则[?df(x)]?? ．答案f?(x)
10设函数dedx?1ln(1?x2)dx?___________.答案：0 11 若P(x)??01x1?t2dt，则P?(x)?__________.答案：?11?x2 ??12．若
?0ekxdx?2，则k= ?12 。
（二）单项选择题
1. 下列函数中，（ ）是xsinx2
的原函数． 答案：D A．
12cosx2 B．2cosx2 C．-2cosx2 2. 下列等式成立的是（ ）． 答案：C
A．sinxdx?d(cosx) B．lnxdx?d(1x)
C．2xdx?1ln2d(2x) D．
1xdx?dx
3. 若?f(x)dx?cos2x?2x?c，则f(x)= （ A ）.
A．-2sin2x+2 B．2sin2x+2
C．-12 sin2x+2 D．12 sin2x+2 4若?f(x)dx?F(x)?c,则?xf(1?x2)dx?（ B ）.
A．12F(1?x2)?c B．?12F(1?x2)?c
D．-12cosx2 C．2F(1?x2)?c D．?2F(1?x2)?c
5.若
?f(x)dx??ex?2?x2?c?，则f(x)=（ D ）.
xxx1?21?21?ee?e2A. ?e B. 2 C. 4 D. 4
6 若f(x)edx??e?c成立，则f（x）=（ B ）. ?1x1x1111A． B． 2 C．? D． ?2
xxxx7．若F（x）是f（x）的一个原函数，则?e-xf(e-x)dx=（ A ）. A．?F(e?x)?c B．F(e?x)?c C．xF(e?x)?c D．?xF(e?x)?c
8．在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过（4，1）点的曲线方程是（ C ）.
A．y?x2?1 B．y?x2?4
C．y?x2?15 D．y?x2?15
9 下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ ）． 答案：C
2A．cos(2x?1)dx， B．x1?xdx C．xsin2xdx D．
???x?1?x2dx
10 下列定积分计算正确的是（ ）． 答案：D A．
C．
?1?12xdx?2 B．?16?1dx?15
??????1?(x2?x3)dx?0 D．?sinxdx?0
11．下列定积分中积分值为0的是（ A ）．
x?x1e?eex?e?xdx dx B．? A．??1?122C．
????(x3?cosx)dx D．?(x2?sinx)dx
??1?12下列积分计算正确的是（ ）． 答案：A
x?x1e?eex?e?xdx?0 B．?dx?0 A．??1?122C．
?2?1-1xsinxdx?0 D．?(x2?x3)dx?0
-1113．
??sinxdx=（ D ）. ?2A． 0 B． π C．
? D． 2 214．
??x?333cosx?5x?2?dx?（ C ）.
A．0 B．2 C．6 D．12
15. 下列无穷积分中收敛的是（ ）． A．
????1????1xdx B．?dx C． D．edxsinxdx 2??101xx?1(三)解答题
1.计算下列不定积分
3xx3xe（1）?xdx 答案：?c 3elne354222(1?x)2（2）?dx 答案：2x?x?x?c
35x1x2?4dx 答案：x2?2x?c （3）?2x?211dx 答案：?ln1?2x?c （4）?1?2x23122（5）?x2?xdx 答案：(2?x)2?c
3sinx（6）?dx 答案：?2cosx?c
xxxx（7）?xsindx 答案：?2xcos?4sin?c
222（8）?ln(x?1)dx 答案：(x?1)ln(x?1)?x?c
2.计算下列定积分 （1）
5 答案： 1?xdx??1222
1x
e
?1x2dx 答案：e?e e31dx 答案：2 （3）?1x1?lnx（2）（4）1解:
?21(x?)2dx
x32x11122?[?2x?(?)](x?)dx?(x?2?)dx2?1?13x1xx81129??4??(?2?1)? 323622