第8章 参数估计
一、大纲要求
(1)理解参数的点估计、估计量和估计值的概念； (2)掌握矩估计法(一阶、二阶)和极大似然估计法;
(3)了解估计量的无偏性、有效性(最小方差法)和一致性(相合性)的概念,并掌握估计量无偏性的验证;
(4)了解区间估计的概念,会求单个正态总体的均值和方差的置信区间. 二、重点知识结构图 矩估计法 点估 估计 极大似然估计法 计 量 ? 评价标准 无偏性：E??? 参 ??数 有效性：D?1?D?2 估 ?计 一致性：limP{|???|??}?1 n?? ?? 区间估计 P{?1????2}?1?? 常见正态分布的均值和方差的区间估计
三、基本知识
1.点估计
定义 设总体X的分布函数F?X;??中?是未知参数，它或它的一个函数
?g???是要估计的对象.构造一个统计量?对未知参数?作定值(此定值在数轴上表现为一个点)的估计称为参数的点估计.
2.矩估计法
矩估计的步骤如下:
(1)列出估计式,求总体F?X;?1,?2,?,?m?的前m阶矩;
ak?E?Xk???????xkf?x?dx?gk??1,?2,?,?m? ?k?1,2,?,m?
(2)求解关于估计量的方程组,将未知参数?1,?2,?,?m表示为a1,a2,?,am的函数,解上面的方程组得
?k?gk?a1,a2,?,am? ?k?1,2,?,m?
1nk (3)求出矩估计,用样本矩Mk??Xi代替相应的矩ak,可得未知参数?k的
ni?1矩估计为
?k?g?M,M,?M? ?k?1,2,?,m? ?k12m3.极大似然估计法
定义 设x1,x2,?,xn是取自总体X的一个样本观察值,其密度函数为
?时, x,x,?,x被取到的f?x1,x2,?,xn;????为未知参数?,如果当未知参数?取?12n?为?的极大似然估计. 概率最大,即使似然函数L取到极大值,就称?极大似然估计的步骤如下 (1)求似然函数L?x1,x2,?,xn;?? 设总体为离散型分布,其分布律为
P?X?xi??p?xi;?? ?i?1,2,?,n?
式中, ?为未知参数.对给定的样本观察值x1,x2,?,xn,令
L?x1,x2,?,xn;????p?xi,??
i?1n若总体为连续型分布,其密度函数为f?x;??,其中?为未知参数,对给定的样本观察值x1,x2,?,xn,令
L?x1,x2,?,xn;????f?xi,??
i?1n以上两式是未知参数?的函数,称为似然函数L?x1,x2,?,xn;??.它反映了样本观察值被取到的概率.
? (2)求L?x1,x2,?,xn;??的极大值点??必然满若似然函数L是?的可微函数,由微积分的基本知识可得,极大值点?足方程:
dL?0 d??,??上式称为似然方程,由似然方程解出?,经过检验即可得到L的极大值点?就是?的极大似然估计.
因为L为乘积形式, lnx是x的单调函数,所以由对数似然方程
dlnL?0求d??比由似然方程解?dL?要方便得多. ?0求解?d?一般地,设总体含有m个未知参数?1,?2,?,?m,其似然函数为
L?x1,x2,?,xn;?1,?2,?,?m?
这时L为?1,?2,?,?m的m元函数,其极大值点由以下对数似然方程组解得.
??lnL????01???lnL?0??? ?2?????lnL????0?m?1,??2,?,??m分别为未知参数?,?,?,?的极大似然估在通常的情况下,其唯一解?12m计.
4.点估计的评选标准
(1)无偏性
?是参数?的估计量,若E????,则称??是?的无偏估计或称??具有无偏性. 设?(2)有效性
?1?D??2,则称??1与??2都是?的无偏估计,若对任意样本容量n有D??1较??2设?有效.
(3)一致性
?为参数?的估计量,当n??时, ??依概率收敛于?,即对任意??0,有 设???????1 limP?n?????是?的一致估计量或相合估计量. 则称?5.参数的区间估计
?1?X,X,?,X?与??2?X,X,?,X?为定义 设?是总体X的未知参数,若?12n12n由样本X1,X2,?,Xn所确定的两个统计量,对于给定的常数??0???1?有
?1?????2?1?? P??1,??2称为参数?的置信概率(或置信度)为1??的置信区间, ??1与则随机区间??2分别称为置信下限与置信上限. ?????四、典型例题
例1 设总体X的概率密度为
?6x???x?/?2当0?x?? f?x??? 其他 0 ??;(2) ??的方若X1,X2,?,Xn是取自总体X的简单随机样本,求:(1) ?的矩估计量??. 差D?解 (1) EX??????x?f?x?dx??6x20?2????x?dx
2??1n??2X. 记X??Xi,令?X,得?的矩估计量?2ni?1(2) EX??2????xf?x?dx??22?6x306?2??x?dx? 2??20DX?EX??EX??2?220
24???D?2X??4DX?DX???2X的方差为D?所以? n5n例2 设总体X的概率密度为
????1?x?当0?x?1f?x???
?0 其他 其中???1是未知参数, X1,X2,?,Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然估计法求?的估计量.
解 (1)矩估计法
EX??????xf?x?dx?????1?x??1dx?01??1 ??21n??2X?1. 令EX?X??Xi,得?的矩估计量?1?Xni?1 (2)极大似然估计法
?n??n?????1???xi?当0?xi?1似然函数L?x????i?1? 其他 ?i?1,2,?,n?
??0 取对数lnL????nln???1????lnXi,求导得
i?1nndlnL???n???lnXi d???1i?1???1?令上式等于0，解得?的极大似然估计量?n?lnXi?1n.
i例3 设总体X的概率密度为
?2?x????当x???2ef?x???
??0 当x??其中??0是未知参数,从总体X中抽取简单随机样本X1,X2,?,Xn,记
??min?X,X,?,X? ?12n?的分布函数F?x?;(3)如果用??求:(1) 总体X的分布函数F?x?;(2)统计量???作为?的估计量,讨论它是否具有无偏性.
解 (1) F?x???x???2?x????当x???1?ef?t?dt??
x ? ???0 当?(2) F???x??P??x?P?min?X1,X2,?,Xn??x?
??,X,n??x???1P?X1?xX,??x? ?1?P?min?X1,X2?2x?,Xn,