待检验参数?.
(3)求临界值.给定显著性水平??0???1?,查正态分布表求出临界值u?/2,使
P?u?u?/2???,即P?u?u?/2??1??.
(4)求观察值.根据给定的样本求出统计量u的观察值u1. (5)作出判断.若u1?u?/2,则接受H0;若u1?u?/2,则拒绝H0.
5.t检验法
未知方差?2,假设检验H0:???0. (1)提出假设H0:???0.
(2)找统计量.因为?2未知,这时u已不是统计量,所以不能用u检验法,这里用
S2来代替?2,找出统计量: t?X??0. S/n(3)求临界值.对给定显著性水平??0???1?,由t分布表查得临界值,使
P?t?t?/2???.
(4)求观察值.根据给定的样本算出统计量t的观察值t1. (5)作出判断.若t1?t?/2,则接受H0;若t1?t?/2,则拒绝H0.
6. ?2检验法
2已知期望?,假设检验H:?2??0. 2(1)提出假设H:?2??0.
(2)找统计量.确定样本函数的统计量:
??21?20i?1?(Xni??)2~?2?n?
(3)求临界值.对给定显著性水平??0???1?,由?2分布表查得临界值
22与??n???/21??/2?n?,使
2P??2???/2?n????2, P??2??12??/2?n????2
即 P??12??/2?n???2???2????1?? /2n(4)求观察值.根据给定的样本算出统计量?2的观察值?12.
2222(5)作出判断.若?12??/2?n???2???/2?n?,则接受H0;若?1???/2?n?或?1?
?12??/2?n?,则拒绝H0.
7. F检验法
?12已知期望?1,?2,假设检验H0:2??
?2?12(1)提出假设H0:2??.
?2(2)找统计量
1n1?12i?1F?~F?n1,n2? n21(Yi??2)22?n2?2i?1 (3)求临界值. 对给定显著性水平??0???1?,查F分布表,求得F?/2?n1,n2?及
?(Xn1i??1)2F1??/2?n1,n2?,使
P?F?F?/2?n1,n2????2, P?F?F1??/2?n1,n2?????2
即 P?F1??/2?n,1n??2?FF?21?? ?/2,n?1?n (4)求观察值.由所给定的样本算出统计量的值F1.
(5)作出判断.若F1??/2?n1,n2??F?F?/2?n1,n2?,则接受H0;若F1?F?/2?n1,n2?或F1?F1??/2?n1,n2?,则拒绝H0.
四、典型例题
例1 有两批棉纱,为比较其断裂强度,从中各取一个样本,测试得到: 第一批棉纱样本 n1?200,X?0.523kg,S1?0.218kg;
第二批棉纱样本 n2?100,X?0.576kg,S2?0.176kg.
试验证两批棉纱断裂强度的均值有无显著差异(检验水平??0.05)?如果??0.1呢?
解 这是两个正态总体的均值检验问题,检验H0:EX?EY.
X?EXY?EY~N?0,1?, ~N?0,1?
DX/n1DY/n22因为是大样本(n1,n2均较大),所以DX、DY可用S12、S2代入,近似有
2???S12?S2X~N?EX,?, Y~N?EY,?
n1?n2???2??S12S2故 X?Y~N?EX?EY,??
n1n2??由于X与Y相互独立,若H0:EX?EY成立,则
2?S12S2?X?Y~N?0,??
?n1n2?故 u?X?YSS?n1n22122~N?0,1?
因此,只要是大样本(容量较大时),不管总体X、Y是否服从正态分布,是否
DX?DY,都可以按u检验法?2已知的情况去做近似检验.
由已知得 n1?200, X?0.523, S12?0.2182
2n2?100, X?0.576, S2?0.1762
故 u?X?YSS?2n1n2212?0.532?0.5760.2180.176?20010022??1.88
当??0.05时,查表得u?/2?1.96.
因u?1.88?u?/2?1.96,故H0被接受,即在检验水平??0.05下可以认为这两种棉纱的强力值无显著差异.
当??0.10时,查表得u?/2?1.65.
因u?1.88?u?/2?1.65,u落入拒绝域,应否定H0,即在检验水平??0.10下可以认为这两种棉纱的强力值有显著差异.
例2 某农业试验站为了研究某种新化肥对农作物产量的效力,在若干小区进行试验.测得产量(单位:kg)如下:
施肥 34 35 32 33 30 34 未施肥 29 27 32 28 31 32 31
设农场的产量服从正态分布,检验该种化肥对提高产量的效力是否显著?
???0.10?
解 设X为施肥后的产量, Y为施肥前的产量.已知X~N??1,?12?,Y~N??,??.由于总体方差?2222122和?2均未知,应先对方差进行检验,即H0:?12??2,
2. H1:?12??21617由题意可知 X??Xi?33, Y??Yi?30
6i?17i?1161722S??(Xi?X)?3.2, S2??(Yi?Y)2?4
5i?16i?121S123.2F?2??0.8
S24已知??0.1,n1?6,n2?7,查表得F?/2?n1?1,n2?1??F0.05?5,6??4.95.
2因为F?F0.05?5,6?,所以接受H0,即认为?12??2. 11提出检验问题,即H0:?1??2,H1:?1??2
t?X?Y?n1?1?S12??n2?1?S22?n1?n2?2??n1n2?2.828 n1?n2已知???0.10?,查表得t??n1?n2?2??t0.1?11??1.3634.
因为t?2.828?t0.1?11?,所以拒绝H0,即认为该种化肥对提高产量的效力显著.
例3 某种配偶的后代按体格的属性分为三类,各类的数据是:10,53,46.按照
某种遗传模型,其频率之比应为p2:2p?1?p?:?1?p?,问数据与模型是否相符?
2???0.05?
解 令p1?p2,p2?2p?1?p?,p3??1?p?,欲检验的假设为H0:数据与模型相符.
设观察到的三类数量分别为n1,n2,n3,其中n1?n2?n3?n,则p的似然函数为
2L?p???p2n1?????2p?1?p?????1?p?? ?n1?10,n2?53,n3?46?
?lnL?p?2n1n2?n2?1????2n2?0 ?ppp1?p1?pn22n3由于
2n?n20?53p?12??0.335 解得p的极大似然估计为 ?2n21822??5?从而 p1?p?0.330. 112?p2?2?p1??p?2?0.335?0.665?0.45 ?p3?1??p统计量观测值为
????2?0.6652?0.44
???2i?13?ni?n?pin?pi?2
222?10?109?0.112???53?109?0.45???46?109?0.44?
?109?0.112109?0.45109?0.44?0.801
2已知??0.05,自由度n?1?1?3?2?1,查表得?0.05?1??3.84 2由于?2?0.801?3.84????1?,故接受H0,即数据与模型相符.
例4 设某次考试考生成绩服从正态分布,从中随机抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在??0.05时是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?
解 设该次考试考生的成绩为X,则X~N??,?2?.把从X中抽取的容量为
n的样本均值记为X,样本标准差记为S，检验假设H0:??70,H1:??70.则