u?X?70S36?t1??/2?n?1?
已知n?36,X?66.5,S?15,t0.975?36?1??2.0301,所以
u?66.5?70n?t0.975?35??2.0301 15所以接受假设H0:??70,即??0.05时,可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分.
例5 某一指标服从正态分布,今对该指标测量8次,所得数据为:68,43,70,65, 55,56,60,72.在以下两种条件下,检验H0:?2?82???0.05?.(1)总体均值?未知;(2)总体均值??60.
解 (1)检验假设H0:?2?82,用?2检验,得
8182X??Xi?54.875, ?n?1?S??(Xi?X)2?652.8
8i?1i?1故
n?1?S2???22??652.8?10.2 822222查表得?0.025?8??17.535,?0.975?8??2.180.因?0.025?8???2??0.975?8?,故接受
H0.
(2)检验假设H0:?2?82,而??60,故
?n?1?S22??(Xi??)2?663
i?18n?1?S2???2??663?10.4 2822由于?0.025?8???2??0.975?8?,故接受H0.
例6 从某锌矿的东西两支矿脉中,各抽取容量分别为9和8的样本分析后,计算其样本含锌量(%)的平均值与方差分别如下:
东支X?0.230, S12?0.1337, n1?9
2西支Y?0.269, S2?0.1736, n2?8
假定东西两支矿脉的含锌量都服从正态分布,对于??0.05,能否认为两支矿脉的含锌量相同?
解 设东支矿脉的含锌量为X,X~N??1,?12?;西支矿脉的含锌量为Y,Y~2N??2,?2?;其中?1、?2、?12、?22均为未知参数.
22(1)检验假设H01:?12??2.则 ,H11:?12??2S12F?2~F?n1?1,n2?1?
S22已知n1?9,S12?0.1337,n2?8,S2?0.1736,计算得
F?0.1337?0.7702
0.1736查表得F0.025?8,7??4.90,F0.975?8,7??因
1F0.025?7,8??1 4.5312?F?4.90,故接受假设H01,即认为?12??2. 4.53(2)检验假设H02:?1??2,H12:?1??2,这属于t检验,检验统计量为
t?X?Yn1n2?n1?n2?2?~t?n1?n2?2?
n1?n2?n1?1?S12??n2?1?S222已知n1?9,S12?0.1337,n2?8,S2?0.1736,计算得
t?0.230?0.2699?8?15??0.2180 178?0.1337?7?0.1736查表得t0.025?15??2.1315.因t?2.1315,故接受假设H02,即认为两支矿脉的含锌量相同.
例7 在20世纪70年代后期人们发现,酿啤酒时,在麦芽糖干燥过程中会形成致癌物质亚硝基二甲胺(NDMA),于是80年代初期开发了一种新的麦芽糖干燥过程.下面给出分别在新老两种过程中所形成的(NDMA)含量(以10亿份中的份数计). 老过程 6 4 5 5 6 5 5 6 4 6 7 4 新过程 2 1 2 2 1 0 3 2 1 0 1 3
设两样本分布来自正态总体,两总体方差相等,两样本独立,分别以?1、?2记
对应于新老两过程的总体均值,检验假设
H0:?1??2?2,H1:?1??2?2???0.05?.
解 该检验的拒绝域为
????X?Y?2??W??t??t??n1?n2?2??
11?S??W??n1n2??已知n1?12,n2?12,??0.05,查表得t??n1?n2?2??t0.05?22??1.7171. 由已知数据计算得
X?5.25, Y?1.5
2SW2n1?1?S12??n2?1?S2??n1?n2?1?10.25?6.5?0.7283 23t?5.25?1.5?2?11.87?1.7171
110.8845?1212由于t在拒绝域中,故应拒绝H0.
例8 某厂使用两种不同的原料A、B生产同一类产品,各在一周的产品中取样进行分析比较,取使用原料A生产的样品220件,测得平均重量为2.46kg,样本标准差S?0.57kg;取使用原料B生产的样品205件,测得平均重量为2.55kg,样本标准差S?0.48kg,设这两个样本独立,问在??0.05下能否认为使用原料B的产品平均重量比使用原料A大?
解 检验假设H0:?1??2?0,H1:?1??2?0. 这个问题是大样本问题,故可近似认为统计量:
Z?X?Y?0?21n1于是检验的拒绝域为
??22~N?0,1?
n2????X?Y?0??W??Z???Z??
2?12?2?????n1n2??已知??0.05,Z0.05?1.65,所以
Z?2.46?2.55?00.570.48?22020522??1.76??1.65
由于Z落在拒绝域中,故应拒绝H0,即认为使用原料B的产品平均重量比使用原料A的大.
例9 某种导线,要求其电阻的标准差不得超过0.005(单位:?).今在生产的一批导线中取样本9根,测得S?0.007,设总体为正态分布,问在??0.05下能否认为这批导线的标准差显著地偏大?
解 检验假设H0:??0.005,H1:??0.005. 该检验的拒绝域为
2???2?n?1?S?2W??????n?1??? ?2?0????2已知??0.05,n?9,???n?1??15.507,所以
8?0.0072???15.68?15.507
0.00522由于?2落在拒绝域中,故应拒绝H0,即在??0.05下这批导线的标准差显著偏大.
例10 一自动车床加工零件的长度服从正态分布N??,?2?,车床正常时,加工零件长度为10.5,经过一段时间生产后,要检验这车床是否正常工作,为此抽取该车床加工的31个零件,测得数据如下: 零件长度 10.1 10.3 10.6 11.2 11.5 11.8 12.0 频率 1 3 7 10 6 3 1
若加工零件长度方差不变,问此车床工作是否正常?(??0.05)
解 检验假设H0:???0?10.5,H1:???0?10.5.则
t?X??0~t?n,1? S/n??X??0???t?/2?n?1?? 于是检验的拒绝域为 W??t?S/n????已知n?31,计算得X?11.08,S?0.516.从而
t?X??0S/n?11.08?10.50.51631?6.26
查表得t?/2?n?1??t0.025?30??2.0423.
由于t?6.26?t0.025?30??2.0423,故拒绝H0.即可以认为该车床工作不正常. 例11 某车间的白糖包装机包装量X~N??0,?2?,其中,??500g,?2未知.一天开工后为检验包装量是否正常,抽取了已经装好的糖9袋,算得样本均值
X?504g,样本标准差为S?5g,试确定包装机工作是否正常?(??0.01)
解 检验假设H0:??500,H1:??500(可省略).样本均值X?504,样本方差
S2?25.于是
t?X??0S2/n?504?500?2.4 25/9已知??0.01,n?1?8,查表得t?/2?n?1??t0.005?8??3.3554. 由于t?t?/2?n?1?,故接受H0.可认为包装机工作正常.
例12 某市居民上月平均伙食费为235.5元,随机抽取49个居民,他们本月的伙食费平均为236.5元,由这49个样本算出的标准差S?3.5元.假设该市居民月伙食费X方差正态分布,试分别在??0.05和??0.01时,检验“本月该市居民平均伙食费较之上个月无变化”的假设.
解 检验假设H0:??235.5,H1:??235.5. 由于方差?2未知,故采用t检验法,其拒绝域为
??W??t???n?X??0?S???t?/2?n?1??
??已知n?49,X?236.5,S?3.5,计算得