n22??n12(X?X)?Y?Y???j??i?i?1j?1??________. E?n1?n2?2??????5.设总体X的概率密度为
??x????当x???e f?x;??????0 当x??X1,X2,?,Xn是来自总体X的简单随机样本,则未知参数?的矩估计为
________.
1n6.设n个随机变量X1,X2,?,Xn独立同分布, DX1??,X??Xi,S2?
ni?121n(Xi?X)2,则( ). ?n?1i?1(A) S是?的无偏估计量 (B) S是?的极大似然估计量 (C) S是?的相合估计量(即一致估计量) (D) S与X相互独立 7.从总体中抽取简单随机样本X1,X2,?,Xn,易证估计量
???1111??1X?1X?1X X1?X2?X3, ?2123236244??1X?1X?1X, ???1X?2X?2X ?34123123333555均是总体均值?的无偏估计量,则其中最有效的估计量是( ).
? (B)?? (C)?? ? (D)?(A)?12438.设总体X服从正态分布N??,?2?,X1,X2,?,Xn是来自X的样本,为使
??A??X?X是?的无偏估计量,则A的值为( ).
ii?1n(A)
?111 (B) (C) (D) n2nn?1??nn?19.设0,1,0,1,1为来自二项分布B?1,p?的样本观测值,则p的矩估计为( ).
1234(A) (B) (C) (D)
5555?是参数?的无偏估计量,且D???0,则??是?的( )估计量. 10.设?(A)无偏估计量 (B)有效估计量
(C)有偏估计量 (D)(A)和(B)同时成立 11.设总体X的概率密度为
????1?x?当0?x?1 f?x??? 其他 ?0 其中???1是未知参数, X1,X2,?,Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然估计法求?的估计量.
12.试证:样本均值X是总体均值?的一致估计量,样本方差S2?n21n?11n(Xi?X)及样本的二阶中心距B2??(Xi?X)2都是总体方差?2的一致估?ni?1i?1计量.
13.为了估计湖中有多少条鱼,特从湖中捞出1000条鱼,标上记号后又放回湖中,然后再捞150条鱼,发现其中有10条鱼带有记号,问在湖中有多少条鱼,才能使150条鱼中出现10条带有记号的鱼的概率最大?
14.某厂利用两条自动化流水线灌装鱼子酱,分别从两条流水线中抽取样本
2X1,X2,?,X12和Y1,Y2,?,Y17,算出X?10.6g,Y?9.5g,S12?2.4,S2?4.7,假设这两
条流水线装的鱼子酱的重量都服从正态分布,且相互独立,其均值分别为?1和
?12?2.(1)设两总体方差???,求?1??2的置信度为95%的置信区间;(2)求2的置
?22122信度为95%的置信区间.
15.设有k台仪器,已知用第i台仪器时,测定值总体的标准差为?i(i?1,2,?,k),用这些仪器独立对某一物理量?各观测一次,分别得到X1,X2,?,Xn,设仪
器都没有系统误差,即EXi?? ?i?1,2,?,k?,问a1,a2,?,ak应取何值,才能在使用
????aXii?1ki?是无偏估计,且D??最小? 估计?时, ?16.设某种油漆的9个样本,其干燥时间(单位:h)分别为:6.0,5.7,5.8,6.5,7.0,6.3, 5.6,6.1,5.0.设干燥时间总体服从正态分布N??,?2?,求?的置信度为95%的置信区间:(1)若由以往知??0.6h;(2)若?未知.
17.当X为正态随机变量,且DX为已知时,为什么说有95%的把握保证
X?EX?1.96请给出EX的置信度为95%的置信区间.
[答案]
1.总体X的期望为
EX??????DX nxf?x?dx??x0a2aa?xdx? ??a23样本均值为
X??Xi?1nin
令EX?X?a??3X. ，则得a3k?2.泊松分布律为 P?X???ke??k! ? k?0,?1,?2
似然函数为
e?n?L????
k1!k2!?kn!??kii?1n对数似然函数为 lnL?????kil?n?n??i?1nlnk?i?1ni !kidlnL?????i?1?n?0 d??n??x,这与矩估计是相同的. ??1k,则?的极大似然估计?故??ini?13.已知??850,n?100,??0.05,X?28640,DX??2?8502,故
n20DX20?8502X??28640??28473.4
n10020DX20?8502X??28640??28806.6n100
所以该种轮胎平均使用寿命的置信区间为?28473.4,28806.6?。
4.已知X~N??1,?2?,Y~N??2,?2?,令
1n11n2222 S?(X?X), S?(Y?Y)??i2jn1?1i?1n2?1j?1212又因为ES12??2,ES2??2,因此
n2?n122?(X?X)?(Y?Y)?j2??i???n1?1?S12??n2?1?S2?i?1j?1??E?E??
n1?n2?2n?n?2??12???????n1?1?E?S12???n2?1?E?S22??n1?1??2??n2?1??22????
n1?n2?2n1?n2?25.已知EX????0??X?1. xe??x???dx???1,由方程??1?X,得到?6.设用X表示总体,由辛钦大数定理有
?1n? ???0, lPi?m?Xi?EX???? 1 ①
n???ni?1?1n换句话说, X??Xi依概率收敛于EX,说明X是EX的一致估计量.
ni?1若在①式中,分别用Xi2和X2替换Xi和X,则有
?1n2????0, limP??Xi?EX2????1
n???ni?1?1n1n22依概率2M??(Xi?X)??Xi?X2????EX2??EX???2
ni?1ni?12显然S依概率趋于?,故S是?的相合估计量(即一致估计量).故C项正确.
??D???D???D??.故??最有效,所以C项正确. 7.假设DXi?1,则有D?342138.D
9.C 10.A
11.总体X的数学期望为
EX??????xf?x?dx?????1?x??1dx?01??1 ??2??11n?X,解得参数?的矩估计为 设X??Xi为样本均值,令
??2ni?1???2X?1 1?X设x1,x2,?,xn是相应于样本X1,X2,?,Xn的观察值,则似然函数为
L?????i?1n????1?n?x1x2?xn??当0?xi?1?i?1,2,?,n?? f?xi??? 其他 ??0 当0?xi?1 ?i?1,2,?,n?时, L????0,且
lnL????nln???1????lnxi
i?1nndlnL???n???lnxi d???1i?1令
dlnL????0,解得?的极大似然估计为 d????1??n?lnxi?1n
i12.证明 由辛钦大数定理可知,对任意??0,有
?1n?limP??Xi??????1 n???ni?1?1n所以X??Xi是?的一致估计量.
ni?11n1n22又因为 B2??(Xi?X)??(Xi2?2XiX?X)
ni?1ni?11n2??Xi?X2?A2?X2 ni?11n2其中A2??Xi是样本二阶原点矩.
ni?1由大数定理可知,A2依概率收敛于EX2,X依概率收敛于EX,从而B2?A2?X2依概率收敛于EX2??EX???2,故B2也是?2的一致估计量.
213.设湖中有N条鱼,其中M条鱼带有记号,先从湖中随机捞一条鱼,令
?1捞的鱼带有记号X??
?0捞的鱼没有记号