设x1为煤矿本周内的总产值，x2为电厂本周内的总产值，x3为铁路本周内的总产值，则
?x1??0?x1?0.65x2?0.55x3??50000? ?x2??0.25x1?0.05x2?0.10x3??25000 （3.1）
?x??0.25x?0.05x?0?x??0123?3记
0.650.55??x1??0?5000?0?????? X??x2? A??0.250.050.10? Y??2500? 0
?x??0.250.050??0??3?????矩阵A称为直接消耗矩阵，X称为产出向量，Y称为最后需求向量，则方程组（3.1）
表示为
X?AX?Y
或
?I?A?X?Y （3.2） 其中矩阵I为单位矩阵，?I?A?称为列昂杰夫矩阵，列昂杰夫矩阵为非奇异矩阵。
?x1?1 设B??I?A??I，C?A??0??00x200?0??，D??1,1,1?C x3?? 矩阵B称为完全消耗矩阵，它与矩阵A一起在各个部门之间的投入产出中起平
衡作用。矩阵C可以称为投入产出矩阵，它的元素表示煤矿，电厂，铁路之间的投
入产出关系。向量D称为总投入向量，它的元素是矩阵C的对应列元素之和，分别表示煤矿，电厂，铁路得到的总投入。
由矩阵C，向量Y，X和D，可得投入产出分析表如下：
煤矿 电厂 铁路 总投入 表3.1 投入产出分析表（单位：元） 煤矿 电厂 铁路 外界需求 c11 c13 y1 错误！链接无效。 c21 c22 c23 y2 c31 c32 c33 y3 d1 d2 d3 总产出 x1 x2 x3 Mathematica程序 A2={{1,-0.65,- 0.55},{- 0.25,0.95,- 0.10},{-0.25,-0.05,1}}（列昂杰夫矩阵）
A2.{x1，x2，x3}=={50000，25000，0}（方程组） Solve[％,{xl,x2,x3}]（解方程组，求出总产出） X2={{102087.48,0,0},{0,56163.02,0},{0,0,28330.02}} C2=（IdentityMatrix[3]-A2）.X2（求投入产出矩阵） D2={1,1,l}。C2（求总投入） MATLAB程序
>>A=[ 0，0.65，0.55；0.25，0.05，0.10；0..25，0.05，0]； %输入系数矩阵
Y=[50000，25000，0]’； %输入外界需求 X＝（eye（size（A））-A）\\Y %求总产出
>>C=A*diag（X）%求投入产出矩阵 >>D=ones（size（X））’*C %求总投入量
>>Y=［80000，8000，800］’；%输入最终需求
>>X=（eye（size（A））-A）；＼Y %求未来产出向量
2.3练习题
1、解线性方程组
?x1?x2?x3?x4?5?2x1?7x2?3x3?x4?6?x?2x?x?4x??2?234?1 （1）? （2）?3x1?5x2?2x3?2x4?4
?2x1?3x2?x3?5x4??22??9x1?4x2?x3?7x4?2?3x?x?x?11x?0234?1 2、某机床厂的产品数量与成本的数据如下： 求其成本函数C?x?，盈亏转折点及最大利润值。 产品数量（台） 成本（千元） 5 100 10 155 15 220 3、在某经济年度内，各经济部门的投入产出表如下：
工业 农业 第三产业 工业 6 2.25 3 农业 2 1 0.2 第三产业 1 0.2 1.8 最后需求（Y） 16 1.55 15 单位：（10亿元） 总产值（X） 25 5 20 假设t经济年度工业，农业及第三产业的最后需求均为17（10亿元），预测t经济年度工业，农业及第三产业的产出。
基础实验四 矩阵与几何变换
一、实验目的
理解矩阵的一些性质和特征、矩阵与几何变换的关系，了解代数与几何的联系。
二、实验材料
2.1齐次坐标和齐次变换矩阵
几何变换是计算机辅助图形设计中的基本技术，有着广泛的应用。为了在形式上将几何变换统一表示，引入了齐次坐标和齐次变换矩阵。
二维直角坐标系xOy中，直角坐标为?x,y?的点的齐次坐标表示为?Hx,Hy,H?，其中H是不为零的常数，一个点的齐次坐标不是唯一的。齐次坐标?2x,2y,2?和?3x,3y,3?代表同一个点。
?ab?二维直角坐标系xOy中的齐次变换矩阵形式为?cd?lm??A??C?p??q?，通常将其分块为s??B??ab??p?????A?B?，其中，?cd??q??，C??lm?，D??s?。 D??????2.2几何变换和矩阵的对应关系
一个几何变换对应一个形为
?ab0??? ?cd0?
?lms???的齐次变换矩阵；反之，一个这种形状的可逆矩阵对应一个几何变换。
矩阵的逆与它对应的几何变换的逆变换相对应，如旋转角度为?的变换对应的齐次变换矩阵为
s?co??n ??si??0?si?nco?s00??0? 1??其逆变换对应的齐次变换矩阵恰为此变换矩阵的逆矩阵
?cos?? ??sin??0?sin?cos?00??cos???0???sin??01????1?sin?cos?00??0? 1?? 平移量为?l,m?的平移变换、比例系数sx与sy的比例变换、比例系数s的整体比例变换、错切系数为c的x向的错切变换、错切系数为b的y向的错切变换、关于x?100???轴对称的变换、关于直线y?x对称的变换的齐次变换矩阵分别为?010?、
?lm1????sx??0?0?0sy00??100??100??1b0??100??010????????????0?、?010?、?c10?、?010?、?0?10?、?100?。
??????????1???00s??001??001??001??001?2.3可逆矩阵的初等分解和几何变换的初等分解
一个形为
?ab0???cd0?? ?lms???的可逆矩阵可以表示为一系列初等矩阵的乘积；一个几何变换可以表示为一系列简
单几何变换的乘积。
常见的简单几何变换有：平移量为?l,0?的平移变换，平移量为?0,m?的平移变换，x向比例系数为sx的比例变换，y向比例系数为sy的比例变换，错切系数为c的x向的错切变换，错切系数为b的y向的错切变换，关于x轴对称的变换，关于直线
y?x对称的变换。
练习1 几何变换能改变图形的形状、大小和方位，象比例放缩、平移、对称（亦称镜象）等，是计算机辅助图形设开的基本方法和工具。在二维直角坐标系xOy中，试用一个矩阵实现关于直线y?3x?5对称的齐次变换。
该变换等于以下五个变换的乘积：平移量为(0,?5)的平移变换T1，旋转角度为
?1???arctan3的旋转变换T2，关于x轴对称的变换T3，T2的逆变换T4?T2，T1的逆
?1变换T5?T1。从而所求的矩阵为T?T1?T2?T3?T4?T5。
Mathematica程序如下：
a=- ArcTan[3]；
T1={{1，0，0}，{0，1，0}，{0，- 5，l}}； T2={{Cos[a]，Sin[a]，0}，{- Sin［a］，Cos[a]，0}，{0，0，l}}； T3={{1，0，0}，{0，- 1，0}，{0，0，1}}； T=N[T1。T2。T3。Inverse[T2]。Inverse[T1]]
练习2 几何变换也是生成计算机动画的基本手段和方法。在二维直角坐标系
xOy中，中心坐标为( 0 , 0 ) ,半径为1的圆绕点P?2,2?旋转一周，要求每隔12?画一
个圆，并给出动画演示。
绕点P?2,2?旋转?角的齐次变换矩阵为
00??co?s?1???10???si?n T??0??2?21??0???si?nco?s00??100????0??010? ??1????2?21??1Mathematica程序如下：
x0=0；y0= 0；
r=1；n= 30； xp=2；yp=2； a=2Pi／n； g3={ }；
g1= ParametricPlot[ {xp+2*Sqrt[2]Cos[t]，yp+2Sqrt[2]Sin[t]},{t，0，2Pi},
AspectRatio->1，PlotRange->{{-3，6}，{-3，6}}，Plotstyle->{RGBColor[1，0，0]}，
DisplayFunctity－> Identity]；
T1＝{{1，0，0}，{0，1，0}，{-xp，-yp，l}}；
For[i=0，i＜n,i++， T2={{Cos[a*i］，Sin[a*i]，0]，{-Sin[a*i]，Cos[a*i]，0}，{0，0，1}}； TT= T1.T 2.Inverse[T]；
xc= Part[{x0，y0，1}.TT，1]； yc=Part[{x0，y0，l}。TT，2]； x[t_]=xc+r*Cos[t]; y[t_]= yc+ r*Sin[t]；
g2=ParametricPlot[{x[t]，y [t]}，{t，0，2*Pi}，AspectRatio->1， PlotRange->{{-3，6}，{-3，6}}，DisplayFunction-> Identity]； g3=Append[g3，Graphics[{Disk[{xc，yc}，0.1]}]]；
Show[g1，g 2，g 3，DisplayFunction->＄DisplayFunction]]
用Mathematica的动画播放功能，播放这一系列图形，以理解旋转变换在此的作用，并注意它的用法。
?120??? 练习 3 证明矩阵T??340?能代表一个几何变换，并将其进行初等分解。
?561???能否代表一个几何变换，取决于这一矩阵是否可逆。求矩阵T的行列式值的
Mathematica程序
T=｛｛1，2，0｝，｛3，4，0｝,{5，6，1｝｝；
Det［T」
结果为?2。可见，矩阵T是可逆的，能代表一个几何变换。
又利用矩阵的初等分解方法可知，可以进行如下把T变换为单位矩阵的过程，Mathematica程序为：
T1={{1，0，0}，{-3，1，0}，{0，0，1}}；（矩阵T的第一行乘以-3加到第二行）
T2={{l，0，0}，{0，1，0}，{-5，0，1}}； T3={{l，0，0}，{0，-1／2，0}，{0，0，1}}； T4={{1，- 2，0}，{0，l，0}，{0，0，1}}； T5={{1，0，0}，{0，1，0}，{0，4，l}}；
T5* T4* T3* T2* T1*T （矩阵T变换为单位矩阵）
初等行变换矩阵T1 、T2、T3、T4、T5分别左乘矩阵T得单位矩阵。所以有
T??T5?T4?T3?T2?T1??T1?T2?T3?T4?T5
?1?1?1?1?1?1
矩阵T代表的几何变换可分解出五个简单变换的乘积。 练习4 几何变换还是产生新图形的重要方法。令正方形围绕其中心旋转且放大，得到一组正方形。使得每个后继的正方形恰包含前一个，这样画出过程中的每个正方形，便形成了正方形的螺旋线。
设初始正方形的四个顶点坐标分别为P1??1,?1?,P2?1,?1?,P3?1,1?,P4??1,1?,每次旋转的角度为???30。
很明显，此问题包含旋转和比例两个变换，每次旋转的角度为?，比例系数经过简单推导可得为s?sin??cos?，又相应于这两个变换的齐次变换矩阵为