图2.2.6 树木花草
计算机绘出树木花草的Mathematica如下：
redotree[ptlist_List] :=
Block[{tmp = {}, i, ptnum = Length[ptlist]/2, midpt1, midpt2, leftpt, rightpt}, For[i = 0, i < ptnum, i = i + 1,
midpt1 = (ptlist[[2i + 1]]*2 + ptlist[[2i + 2]])/3; midpt2 = (ptlist[[2i + 1]] + ptlist[[2i + 2]]*2)/3; leftpt = midpt1 + {{Cos[theta], -Sin[theta]},
{Sin[theta], Cos[theta]}}.{ptlist[[2i + 2]][[1]] - ptlist[[2i + 1]][[1]], ptlist[[2i + 2]][[2]] - ptlist[[2i + 1]][[2]]}/3; rightpt =
midpt2 + {{Cos[theta], Sin[theta]}, {-Sin[theta],
Cos[theta]}}.{ptlist[[2i + 2]][[1]] - ptlist[[2i + 1]][[1]], ptlist[[2i + 2]][[2]] - ptlist[[2i + 1]][[2]]}/3; tmp = Join[tmp, {ptlist[[2i + 1]], midpt1, midpt1, leftpt,
midpt1, midpt2, midpt2, rightpt,midpt2, ptlist[[2i + 2]]}]]; tmp]
showtree[ptlist_List] :=
Block[{tmp = {}, i, ptnum = Length[ptlist]/2}, For[i = 0, i < ptnum, i = i + 1, AppendTo[tmp,
Line[{ptlist[[2i + 1]], ptlist[[2i + 2]]}]]];
Show[Graphics[tmp], AspectRatio -> 3/2/Sin[theta]] ]
theta = 30Degree;
showtree[Nest[redotree, {{0, 0}, {0, 1}}, 4]]
其中，前两种分形图形的生成元比较简单，但后三种分形图形的生成元相对比较复杂。在龙曲线中，生成元将一直线段修改为由两互相垂直的线段构成的折线，但在决定向哪个方向折时存在两种选择（假设线段都有确定的定向，即我们要决定折线是在线段的左边还是在右边）。本生成元规定，折线方向对每条线段依次交替地改变（见图2.2.4）。对Hilbert曲线，虽然它的生成元十分复杂，但其原理与龙曲线类似。在图2.2.5中，每个小线段的左侧或右侧都画了一根短线，它并不是分形图形的组成部分，它表示在下一步迭代时，生成元应位于短线指示的小正方形之内。树木花草的生成元有些特别，它具有所谓的分支结构，其中有一些参数可以改变，如每段树枝的长度以及树枝之间的夹角?。
早在19世纪就有一些数学家对复变函数的迭代进行研究。然而，直到20世纪80年代，B.Mandelbrot才将复变函数的迭代与分形联系起来，并绘制出了第一张以他的名字命名的引人人胜的分形图形，复变函数的迭代由此再一次成为数学家的热
点研究问题。
给定初始复数Z0，考虑如下的迭代
Zk?1?Z2??kk?0,1,2,? (2.2.3)
其中Zk,k?0,1,2,?为复数，?为（复）常数。
对于给定的初始点Z0迭代序列?Zk?有可能有界，也可能发散到无穷。令J?是使得迭代序列?Zk?有界的所有初值Z0构成的集合，即
J?={Z0 |迭代序列?Zk?有界} （2.2.4） 我们称J?在复平面上构成的集合为Julia集。对不同的参数?，Julia集的形状也会不同。特别地，??0对应的Julia集为单位圆盘。
如果固定初值Z0，则对不同的参数?，迭代序列?Zk?的有界性也不相同。令MZ是使得迭代序列?Zk?有界的所有参数值?构成的集合，即
MZ={?|迭代序列?Zk?有界｝ （2.2.5）
00则称MZ在复平面上构成的集合为Mandelbrot集。
0为了便于在计算机上绘制出Julia集与Mandelbrot集，我们令Zk?xk?iyk，
??p?iq，则(2.2.3)可改写为
2?xk?1?x2k?yk?p ??yk?1?2xkyk?qk?0,1,? (2.2.6)
?rk?有界的初始点?x,y?构成的集合，?y2记rk?x2kk，则Julia集为使得序列
Mandelbrot集为使得序列?rk?有界的参数?p,q?构成的集合。这两种集合的计算机作图方法如下：
Julia集绘制方法。1）设定初值p,q，一个最大的选代次数N，图形的分辨率的大小a,b和使用的颜色数K（如K?16 ）（或者给定灰度级 L）；2）设定一个上界值M?max2,p2?q2；3）将矩形区域R:???x,y?|?M?x,y?M?分成a?b的网格，分别以每个网格点?fi,gj???，其中fi??M?2Mi2Mji?0,1,?,a，,gi??M?，
ab22j?0,1,?,b作为初值?x0,y0?利用(riter）做迭代（实际上，只需对满足 x0?y0?M222的初始点选代）。如果对所有n?N，xn?yn?M2,则将图形的?i,j?象素点用黑色显
示。否则，如果从迭代的某一步n0开始有xn?yn?M2,则用第n0mod K种颜色显示
0022相应象素（或者用相应的灰度级显示）。
Mandelbrot集的绘制方法。1）设定一个最大的选代次数 N，图形的分辨率的大小a,b在和使用的颜色数K（如K?16 ）（或者给定灰度级 L）；2）设定一个上界值M?2；3）将矩形区域R:???p,q?|?M?p,q?M?分成a?b的网格，分别以每个网格点?fi,gj?，其中fi??M?2Mi2Mji?0,1,?,a，j?0,1,?,b，，gi??M?ab为作为参数值?p,q?利用（rriter）做迭代（实际上，只需对满足 p2?q2?4的初始点
22迭代）,每次选代的初值均取为?x0,y0???0,0?。如果对所有n?N，xn?yn?M2，
则将图形的?i,j?点用黑色显示。否则，如果从迭代的某一步n0开始有。 xn?yn?M2，则用第n0mod K种颜色显示相应象素（或者用相应的灰度级显示）
0022Mandelbrot集以及它的局部放大的Mathematica程序如下：
iter[x_,y_,lim_] := Block[{c,z,ct},c = x +I*y;z = c;ct = 0;
While[(Abs[z] < 2.0) && (ct < lim),++ct;z = z*z + c;];Return[ct];] Mandelbrot1=DensityPlot[iter[x,y,50], {x,-2.0, 1.0}，{y,-1.5,1.5}, PlotPoints -> 120,Mesh -> False]
Mandelbrot2 = Show[Mandelbrot1, Graphics[Line[{{-0.9, -0.25}, {-0.7,-0.25}, {-0.7,-0.05},{-0.9,-0.05}, {-0.9，-0.25}}]]]
Mandelbrot3 = DensityPlot[iter[x,y,50],{x,-0.9,-0.7},{y,-0.25,-0.05}, PlotPoints -> 120,Mesh -> False]
Julia集图形的Mathematica程序：
julia[x_,y_,lim_,cx_,cy_] :=Block[{z, ct = 0}, z = x + I*y;
While[(Abs[z] <2.0) && (ct < lim), ++ct; z = z*z + (cx +I*cy);];Return[ct];] julia1=DensityPlot[julia[x, y,50, 0.27334, 0.00742],{x,-1.5,1.5}, {y,-1.5,1.5}, PlotPoints -> 120, Mesh -> False]
julia2 = Show[julia1,Graphics[Line[{{-0.7, -0.1},
{-0.3,-0.1},{-0.3,0.3},{-0.7,0.3},{-0.7,-0.1}}]]]
julia3 = DensityPlot[julia[x,y,50,0.27334,0.00742],{x,-0.7,-0.4},{y,-0.1,0.3}, PlotPoints -> 120,Mesh -> False]
给定一组（仿射）变换?i：
?x ?i??y?iii??a11x?a12y?b1???????aix?aiy?bi???11121?i?1,2,?,n
以及相应的一组概率p1,p2,?,pn（p1?p2???pn?1,pi?0），对于任意选取的初始值Z0??x0,y0?，以概率pi选取变换?i做迭代
Zn?1??xn?1,yn?1???i?xn,yn? ， i?1,2,?,n 则点列Zk，i?1,2,?,n收敛的极限图形称为一个IFS吸引子。
IFS迭代绘制分形的方法。设计算机屏幕的可视窗口为 V???x,y?|xmin?x?xmax,ymin?y?ymax?
按分辨率大小的要求将V分成a?b的网格，网格点为?xi,yi?，这里 xi?x yi?y用Vij?min??xmax?xamin?i?j,i?0,1,?,a ,j?0,1,?,b
,yj?y?y?ymaxmin?yamin表示矩形区域??x,y?|xi?x?xi?1j?1?。假设我们采取具有
L（如
L=256）级灰度的黑白图象绘制，总共的迭代次数为 N，其中落Vij中的点的个数为?ij。再记??max?ij,i?0,1,?,a?1,j?0,1,?,b?1，则象素?i,j?的灰度
ijG?i,j?与落于V中的点数成正比：
G?i,j????ij??L
于是即给出了IFS迭代产生的分形的L级灰度图象。
Mathematica程序如下：
pl=0.3;aaa=1/2 +I1//N;f1[z_]:=(z+aaa)/2; p2=0.3;bbb=0//N;f2[z_]:=(z+bbb)/2; p3=0.4;ccc=1//N; f3[z_]:=(z+ccc)/2; f[z_]:=Block[{tmp},tmp=Random[];
Which[tmp ShowIFS[z0_,MeshRange_List,divi_List,nmax_]:= Block[{i,j,z=z0,a=divi[[1]],b=divi[[2]],temp1,temp2,mumax=0}, For[i=a,i>=1,i--,For[j=b,j>=1,j--,mu[i, j]= 0]]; For[i=nmax,i>=1,i--, temp1=Floor[divi[[1]]*(Re[z]- MeshRange[[1]] [[1]])/( MeshRange[[2]] [[1]]- MeshRange[[1]][[1]])]+1; temp2= Floor[divi[[2]]*(Im[z]- MeshRange[[1]] [[2]])/( MeshRange[[2]] [[2]]- MeshRange[[1]] [[2]])]+1; mu[temp1,temp2]++; z=f[z]; ]; For[i=a,i>=1,i--, For[j=b,j>= 1,j--,mumax=Max[mumax, mu[i,j]]]]; mul=Table[GrayLevel[1-N[mu[j,i]]/mumax],{i,a},{j,b}]; Show[Graphics[RasterArray[mu1]]] ] ShowIFS[0+I0,{{-0.1,-0.1},{1.1,1.1}},{150,150},100000] 三、实验方案 3.1迭代序列与不动点 首先对函数y?25x?85研究不动点，需要 x?3 （1）对Plot中{x,-10,20}可改为{x,-50,50}；对PlotRange中{ -1,20}可改为{-50,50}； （2）x0=5.5中5.5分别改为-30，-20，-5，-3.001，-2.999，-1，0，1，1.5，2.5，4，4.5，4.9，4.999，5，5.1，5.001，6，10，16，17，18，20，30； （3）对t=Table[x[i],{i,1,10}]//N中10分别改为100，200，500，1000； （4）对i<=100中100分别改为200，500，1000。 运行程序后观察蛛网图与散点图！一看数列是否收敛？如收敛，极限是多少？收敛速度是快是慢？二看蛛网图中的轨道是否趋于平衡点？与平衡点处曲线的斜率有没有关系？三看初值对结果有没有影响？ 其次，分别就f(x)?sinx，f(x)??x?1等函数利用（2.2.1）做迭代序列{xn}，观察蛛网图中的轨道是否趋于平衡点和序列的收敛性。 3.2 Logistic映射与混沌 就Logistic映射，对a=0.5，1，1.2，2，2.1，2.9，2.999，3，3.001，3.2，3.235，3.236，3.237，3.44等，分别取x0= 0，0.2，0.5，0.8，1.0运行程序，观察结果。 观察结果就是看数列是否收敛，蛛网图中的轨道是否趋于平衡点，与a的关系！对a的定义范围[0，4]分成若干个区间，就初值（属于（0，1）时）看数列是否收敛，蛛网图中的轨道是否趋于平衡点？可用散点图认识。 对Logistic映射讨论下列问题： 1）找出一个a值，它对应的迭代具有2周期点。这种性质依赖于初值吗？你能找到多个a值具有这种性质吗？ 2）你能对任意的k找到一个a值，使得它对应的迭代具有k周期点吗？哪些k值能给出k周期点？在每种情况下，结果是否依赖于初值的选取？ 3）如果某个a值能给出周期点，它是否一定是吸引的周期点？你能否找到排斥的周期点？ 4）试着从理论上分析：f?x?的不动点是什么？对哪些a值迭代收敛到每个不动点？哪些初值收敛到不动点？哪些初值导致发散？对周期点做类似的分析。 研究锯齿函数和帐篷函数的混沌行为时，分别取x0=0，0.2，0.5，0.8，1.0运行程序(改变函数，要修改函数的定义方式)，研究数列及蛛网图中的轨道。 3.3 方程求根 2x?1x3?1对于方程x?2x?1?0，首先分别考虑函数，2，32x?1，取不同的 2x 3初值x0（例如-9,-5,-2,-1,-0.5,0,0.5,1, 2 ,8,10 等），生成相应的数列。若数列有极限， 则极限即为所求根。