s?co??n T1???si??0?si?nco?s00??s00????0?,T2??0s0?
?001?1???? x20=1；y20 = -1；
x30=l；y30=1； x40=-1；y40=1； a=Pi／30；
s＝ Sin[a]+Cos[a]；
T1={{Cos[a]，Sin[a]，0}，{-Sin[a]，Cos[a]，0}，{0，0，l}}； T2={{s，0，0}，{0，s，0}，{0，0，1}}； TT=N[T1。T 2] G1={ }；
For[i=1，i < 2 0,i++，
v1=N[{x10，y1 0，1}。TT]； v2=N [{x20，y20，1}。TT]； v3=N[{x30，y30，l}。TT]； v4=N F{x40，y40，1}。TT]； xl= Part[v1，l]； y1=Part[vl，2]； x2=Part[v2，1]； y2=Part[v2，2]；
x3=Part[v3，1]；
y3=Part[v3，2]； x4=Part[v4，1]； y4=Part[v4，2]；
g1= Append[g1，Graphics[Line[{{xl，y1}，{x2，y2}，{x3，y3}，{x4，y4}，{x1，y1}}]，AspectRatio->1，
PlotRange->{{-10，10}，{-10，10}}]]；
x10=x1；y10=y1； x20=x2；y20=y2； x30=x3；y30=y3； x40=x4；y40=y4； Show [g1]]
而且后一个正方形的各端点等于前一个正方形相应的端点依次经过上述的旋转和比例变换后的结果。
根据以上分析，可编出求解Mathematica程序如下： x10=-1；y10=-1；
输入并运行此程序，以理解这里的实现方法。
2.4思考题
1、求二维直角坐标系xOy中，绕点P旋转的齐次变换矩阵，其中点P的齐次坐标为?x,y,1?。
2、求二维直角坐标系xOy的中，关于直线y??x?1对称的齐次变换矩阵。 3、在二维直角坐标系xOy中，中心坐标为C?1,0?，长短半轴长分别为2，1的椭圆，绕点P?0,3?旋转一周，要求每隔36?画一个椭圆，并给出动画演示。 4、证明矩阵
?120??? T??420?
?653???能代表一个几何变换，并将其进行初等分解。
5、做出正六边形的螺旋线。提示：比例系数为的角度，?为正六边形的内角。
sin??sin?，其中?为每次旋转
sin?基础实验五 数据拟合与曲线拟合
一、实验目的
对于某个变化过程中的相互依赖的变量，可建立适当的数学模型，用于分析、预报、决策或控制该过程。对于两个变量可通过用一个一元函数去模拟这两个变量的取值，但用不同的方法可得到不同的模拟函数。
使用最小二乘法来进行数据拟合，用基本函数曲线及其变化模拟给定的曲线，理解拟合方法。
二、实验材料
2.1 曲线拟合
（1）初等函数包括基本初等函数与它们经过加减乘除复合等运算后所得到的函数的图形及其变换。拟合函数为多项式情形理论上已经解决，称为拉格朗日插值多项式。
（2）光滑曲线的有关内容，包括分段函数的连续性、一阶可导性与高阶可导性。 （3）方程或方程组的求解，包括超越方程或方程组的近似解法，线性方程组的精确解。
2.2最小二乘法
给定平面上一组点(xi,yi)(i?1,2,?,n)作曲线拟合有多种方法，其中最小二乘
[f(xk)?yk]2达到最小。法是常用的一种。最小二乘法的原理是：求f(x),使???nk?1拟合时，选取一定的拟合函数形式，设拟合函数的基底函数为
?0(x),?1(x),?,?m(x), 拟合函数为
f(x)?c0?0(x)?c1?1(x)???cm?m(x),
确定c0,c1,?,cm使方差?达到极小，此时得到的f(x)即为所求。为使?取到极值，将
f(x)的表达式代入，对?求ci的偏导数，令其等于零，得到m?1方程组成的方程组，
从中求解ci。当m=1时，取拟合函数f(x)?a?bx，此做法称为线性拟合，统计学上叫做线性回归。此时，临界方程组为 ??nx?b?ny,na???i??i?i?1i?1?? ?n nn2????xi???xi?b??xiyii?1?i?1??i?1从中解出a与b，有f(x)?nlxylxx(x?x)?y，其中x?1n1n?i?1xi ，y??i?1yi nnlxx??i?1(xi?x)2, lxy??i?1(xi?x)(yi?y)。
nMathematica提供了最基本的数据拟合函数Fit，这个函数使用最小二乘法产生
基函数的线性组合以构造出拟合函数。函数的参数表中包括三项：第一个参数是被拟合的数据；第二个参数是一个表，用于说明拟合用的基函数；第三个参数是拟合变量。
2.3 线性拟合
练习1 为研究某一化学反应过程中温度x(0C)对产品得率y(%)的影响,测得数据如下：
x(0C) 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 y(%) 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89 试求其线性拟合曲线。 Mathematica程序:
b1={{100,45},{110,51},{120,54},{130,61},{140,66},{150,70},{160,74},{170,78}, {180,85},{190,89}} （将数据以表的形式输入） ft1=Fit[b1,{1,x},x] （用Fit拟合，这里是线性拟合）
gp=Plot[ft1,{x,100,190},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]}] （作拟合曲线的图形） fp=ListPlot[b1,PlotStyle->{PointSize[0.05],RGBColor[0,0,1]}] （作散点图）
Show[fp,gp] （显示点组与拟合曲线，作图。下面为计算残差的程序） a= ;b= ; （a，b的值由上面的结果确定） f[x_]=a*x+b; （拟合函数）
darata=Sum[(b1[[i,2]]-f[b1[[i,1]]])^2,{i,1,10}](计算残差)
2.4 非线性拟合
练习2 在某一化学反应里，由实验得到生物的浓度与时间（分）的关系如下 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 t 1 2 3 4 5 4.0 6.4 8.0 8.4 9.28 9.5 9.7 9.9 10.0 10.2 10.32 10.42 10.5 10.55 10.58 10.6 y求浓度与时间关系的拟合曲线。
提示：先用ListPlot语句描点，观察点的分布情况，以确定拟合函数。 (1)用多项式函数拟合的Mathematica程序: Clear[gp,fp];
b2={{1,4},{2,6.4},{3,8.0},{4,8.4},{5,9.28},{6,9.5},{7,9.7},{8,9.86},{9,10.0},{10,10.2},
{11,10.32},{12,10.42},{13,10.5},{14,10.55},{15,10.58},{16,10.6}} gp=ListPlot[b3,PlotStyle->{RGBColor[0,1,0],PointSize[0.04]}] ft2=Fit[b3,Table[x^i,{i,0,4}],x] （用四次曲线拟合） fp=Plot[ft2,{x,0,17},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]}] Show[gp,fp]
f[x_]=expr; （用拟合的多项式函数来定义f(x)）
darata=Sum[(b2[[i,2]]-f[b2[[i,1]]])^2,{i,1,16}](计算残差)
(2)用函数y?ae作拟合，求拟合曲线。作变换x?形为y?lna?bx。Mathematica程序为: fx[x_]:=1/x
fy[y_]:=Log[y]
nb=Table[{fx[b2[[i,1]]],fy[b2[[i,2]]]},{i,1,16}] ft3=Fit[nb,{1,x},x] （拟合）
f4=a*Exp[b/x] （a，b的值由上面的结果确定） t1=Plot[f4,{x,1,18},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]}]
t2=ListPlot[b2,PlotStyle->{RGBColor[0,1,0],PointSize[0.05]}] Show[%,%%]
bx1,y?lny，拟合函数变x (3)用
1b?a?作拟合。Mathematica程序为: yx g[y_]:=1/y
sb=Table[{b2[[i,1]],g[b2[[i,2]]]},{i,1,16}]
ft5=Fit[sb,{1,1/x},x] f5=1/ft5
t3=Plot[f5,{x,1,16},PlotStyle->{RGBColor[0,0,1]}]
Show[t1,t2,t3]（在一张图上比较一下用两种方法得到的函数曲线） （4）用分段函数作拟合。
2.4 思考题
1、在钢线碳含量（x）对于电阻（y）的效应的研究中，得到以下数据：
x 0.10 0.30 0.40 0.55 0.70 0.80 0.95 y 15 18 19 21 22.6 23.8 26 求其线性拟合曲线.
2、一种合金在某种添加剂的不同浓度（x）之下作抗压强度（y）实验，得数据如下：
x 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0 y 25.2 29.8 31.2 31.7 29.4 以模型y?a?bx?cx2作曲线拟合。
3、下表是某年美国轿车价格的调查资料, 以模型lny?a?bx作曲线拟合: 使用年数x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平均价格y 2615 1943 1494 1087 765 538 484 290 226 204 4、待拟合数据如下 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x 2 y 6.24 8.2 9.58 9.6 9.6 10 9.93 9.99 10.47 10.59 10.6 10.8 10.6 10.9 10.75 试作非线性拟合。
第二章 探索数学实验
探索实验一 素数
一、实验背景与实验目的
德国数学家高斯说过，数学是科学的女王，而数论则是数学的女王。在数论这一充满了趣味而布满荆棘的领域中，有关素数的问题(如著名的Goldbach猜想)始终是最富有魅力最吸引人的研究问题。本实验将探索素数的规律及其相关的某些有趣问题。具体地，请同学们研究下列素数问题：（1）素数表的构造；（2）素数的判别；（3）最大的素数；（4）构造生成素数的公式；（5）素数的分布。
我们希望通过本节的学习激发同学们对数论的好奇心，让同学们被自然数的神奇规律而折服，同时让同学们认识到探索自然数规律的艰难性。
二、实验材料
2.1素数的判别与求解
如果一个大于1的自然数只能被l及它本身整除，则该数称为素数，否则称为合数。从数学史的黎明时期开始，数学家们就一直在探索自然数的奥秘。远在古希腊时代，欧几里得就证明了每一个合数都可以分解为若干个素数的乘积，并且在不计较素数排列顺序时这种分解是唯一的，这就是所谓的算术基本定理。算术基本定理表明，素数是构造自然数的基石，正如物质的基本粒子一样。正是由于素数如此重要的地位才使得一代又一代数学家努力地探询素数的规律。首先，一个最基本的问题是素数到底有多少个?会不会在某一充分大的自然数以后就没有素数呢?
建议同学们先做以下实验：
假设已知前n个素数，它们按从小到大的顺序排列为p1?2,p2?3,?,pn。对n?1,2,?,20，计算Nn?p1p2?pn?1。问：
1)Nn是否都是素数?
2)如果Nn不是素数，Nn是否含有不同于pi，i?1,2,?,n的素因子?
Mathematica 程序：
NumP[n_Integer]:=
Module[{i,Num},
Num=Product[Prime[i],{i,1,n}]+1; Print[Num];
Print[PrimeQ[ Num]]; Print[FactorInteger[Num]] ]
Do[NumP[n],{n,1,20}]