1994年，美国数学家PeterShor做出了一项惊人的工作，他指出，如果使用量子计算机，则因子分解算法的运算量仅为O?L2log?L?loglog?L??。
完全数。所谓完全数是指它的所有因子(除去它本身)之和等于该完全数。例如，6是一个完全数，因为6的因子为1，2，3且1十2十3＝6。下一个完全数是28。请读者找出10 000以内的所有完全数，并对它做素因子分解。你能据此猜测完全数的通式吗?完全数与Mersenne素数有何联系?你能由此找到更多的完全数吗?是否存在奇完全数?完全数是否有无穷多个?
除6以外，完全数都有一个奇妙的特性，就是每个完全数可以表为几个连续奇数的奇次数次方之和，如28?1?3。请你对你找出的完全数验证此特性。 孪生素数。所谓孪生素数是指差为2的两相邻素数。孪生素数是否有无穷多个? Bertrand猜测。当n?3时，n与2n?2之间至少存在一个素数。
青一色数的素性。由n个l组成的数l l…1叫做青一色数。当n为何值时，青一色数是素数?如果青一色数是合数，如何将它做素因子分解?
33三、实验方案
3.1 素数的判别与个数
在素数研究中，一个最基本的问题是素数到底有多少个，是否是无穷的。 规定Nn?p1p2?pn?1，当n?1,2,?,20时判断Nn是否是素数，如果不是，那么Nn能不能表示成几个素因子相乘的形式。
调大n至25，观察并得出结论。
再将n调至30，35……，结论是否发生了变化。
根据以上的结果，猜测素数是否有无穷多个，并给出相关的证明。
3.2素数表的构造
给出一个范围，用Eratosthenes筛法和试除法列出该范围内所有的素数。
在两者都能实现我们实验目标的情况下比较Eratosthenes筛法和试除法这两种方法的有效性。
比较同样是列出1000以内的素数，看哪种方法用的时间比较少。
将范围调大，用这两种方法列出10000，100000……以内的素数，再比较它们所用的时间，以此来确定这两种方法的有效性。
3.3素数的判别公式
观察mn?1被n整除所得的余数。
将m的值固定，变化n的值为2，3，……100。 取m=2，观察2n?1被n整除所得的余数； 取m=3，观察3n?1被n整除所得的余数； 取m=4，观察4n?1被n整除所得的余数； ………
如果我们固定的是n的取值，变化m的值，那么我们得出的结果又会怎样？ 取n=2，m=2,3,4,……，20，观察m2?1被2整除所得的余数；
取n=3, m=2,3,……，20，观察m3?1被3整除所得的余数； 取n=5, m=2,3,……，20，观察m5?1被5整除所得的余数； ………
得出一般性结论，并加以证明。
观察并考虑Mersenne数与n的关系，得出一般性的结论，加以证明。
3.4生成素数的公式
Fermat数是否都是素数？在程序中增大n的值，很容易知道当n变大到一个特定的值时，Fermat数不再是素数。
既然Fermat数不能作为素数的生成公式，那么能不能寻求一个整系数单变量多项式，使得它能生出所有的素数。
一次多项式显然不行。先考虑二次多项式，例如：f(n)?n2?n?41，
f(n)?n2?79n?1061，f(n)?6n2?6n?311，观察是否无论n如何变化，f(n)都是
素数。若不是，再改变多项式的次数，令f(n)?2n3?2n2?2n?1，
f(n)?n4?2n3?2n2?2n?31，……，观察变量n的次数不断升高，观察得出的结果
有什么不同。
若单变量整系数多项式不能生成所有的素数，那么多变量整系数多项式呢？考虑两个变量的函数f(n,m)?n?m?3 ，将两个变量的多项式的次数变为二次，例如
f(n,m)?n2?m2?4，再改变为三次的，例如f(n,m)?n4?n3?n2?m3?m2?4，逐步
升高多项式的次数，观察以上的f(n,m)是否生成的均是素数，它们之间有什么规律？
若还是无法找出这样的两个变量整系数多项式，再改变多项式的变量的个数和次数。
3.5素数的分布
用?(n)表示不超过n的素数的个数，?(m,n)表示区间[m,n]内素数的个数，再计
,1100)﹑?(10000)以及?(100,200)﹑?(1000,10100)﹑算?(100)﹑?(1000)﹑?(10000?(100000,100100)。从计算结果看，随着范围的扩大，素数是越来越稀还是越来越密？进一步，选取一些更长的区间，做同样的实验。将这些点画在图中，从图中能更清晰的看出素数的分布情况。
换一个角度考虑，从两个相邻素数间距的大小同样也可以看出素数的分布，这时我们还可以发现一些更有趣的规律。先求出1000以内的所有相邻素数的间距，并将点以（pn，dn）的形式画在直角坐标系中，观察图像的特点；增大n的值，再在
另一个图中画出，从这些点的分布可以看出素数的间隔值的某些特征，以及它们的重复次数的多少，我们还发现：在增大n的值的同时，图中的点也会随之变高，也就是说最大间隔值在变化，那么，存在最大间隔值吗？给出结论及相关证明。
3.6 用函数对素数的个数进行拟合
用函数对素数的个数进行拟合。先进行线性拟合，选取2到1000中所有的素数进行拟合，再改变拟合的多项式的次数，比较拟合效果。 将点（n, ?(n)）标在平面坐标系中,并且用折线把这些点连接起来，观察?(n)的变化趋势，然后在程序中增大n的值，再观察?(n)的变化趋势，将?(n)的值与其它函数的值进行比较，看能否找出最接近?(n)的值的函数，即计算素数个数的公式，注意此时n应该充分大。
探索实验二 非线性迭代
一、实验背景与实验目的
迭代是数学研究中的一个非常重要的工具，通过函数或向量函数由初始结点生成迭代结点列，也可通过函数或向量函数由初值（向量）生成迭代数列或向量列。 蛛网图也是一个有用的数学工具，可以帮助理解通过一元函数由初值生成的迭代数列的敛散性，也帮助理解平衡点（两平面曲线交点）的稳定性。
本实验在Mathematica平台上首先利用蛛网图和迭代数列研究不动点的类型；其次通过蛛网图和迭代数列研究Logistic映射，探索周期点的性质、认识混沌现象；第三通过迭代数列或向量列求解方程（组）而寻求有效的求解方法；最后，利用结点迭代探索分形的性质。
二、实验材料
2.1迭代序列与不动点
给定实数域上光滑的实值函数f(x)以及初值x0，定义数列
xn?1?f(xn)，n?0,1,2,? （2.2.1） {xn}称为f(x)的一个迭代序列。
函数的迭代是数学研究中的一个非常重要的思想工具，利用迭代序列可以研究函数f(x)的不动点。
对函数的迭代过程，我们可以用几何图象来直观地显示它——“蜘蛛网”。运行下列Mathematica程序：
Clear[f]
f[x_] := (25*x - 85)/(x + 3); （实验时需改变函数） Solve[f[x]==x , x] （求出函数的不动点）
g1=Plot[f[x], {x, -10, 20}, PlotStyle -> RGBColor[1, 0, 0], DisplayFunction -> Identity];
g2=Plot[x, {x, -10, 10}, PlotStyle -> RGBColor[0, 1, 0],
DisplayFunction -> Identity]; x0=5.5; r = {};
r0=Graphics[{RGBColor[0, 0, 1], Line[{{x0, 0}, {x0, x0}}]}]; For[i = 1, i <= 100, i++,
r=Append[r, Graphics[{RGBColor[0, 0, 1], Line[{{x0, x0},
{x0, f[x0]}, {f[x0], f[x0]}}] }]]; x0=f[x0] ];
Show[g1, g2, r, r0, PlotRange -> {-1, 20}, （PlotRange控制图形上下范围） DisplayFunction -> $DisplayFunction] x[0]=x0;
x[i_]:=f[x[i-1]]; （定义序列） t=Table[x[i],{i,1,10}]//N ListPlot[t] （散点图）
观察蜘蛛网通过改变初值，你能得出什么结论？
如果只需迭代n次产生相应的序列，用下列Mathematica程序： Iterate[f_,x0_,n_Integer]:=
Module[{ t={},temp= x0},AppendTo[t,temp]; For[i=1,i <= n, i++,temp= f[temp]; AppendTo[t,temp]]; t ]
f[x_]:= (x+ 2/x)/2; Iterate[f,0.7,10]
设f?x?是一个定义在实数域上的实值函数，如果存在u使得f?u??u，则称u为f?x?的不动点。我们用u?u表示这件事。如果所有附近的点在选代过程中都趋向于某个不动点，则该不动点称为吸引点，有时也称该不动点是稳定的。如果所有附近的点在选代过程中都远离它而去，则该不动点称为排斥点，有时也称该不动点是不稳定的。
如果f(u1)?u2，f(u2)?u3，…，f(uk)?u1且ui?uj,j?1,2,?,k,则
u1,u2,?,uk形成一个k循环，u1称为一个k用u1?u2???uk?u1记这个事实。
周期点，u1,u2,?,uk称为一个周期轨道。显然，不动点就是周期为1的周期点。类似于不动点，如果所有附近的点在迭代过程中都趋向于某个周期点，则该周期点称为吸引点；如果所有附近的点在迭代过程中都远离它而去，则该周期点称为排斥点。如果点u最终落于某个循环之中，则称它是一个预周期点。例如，l是f(x)?x2?1的预周期点。
2.2 Logistic映射与混沌
从形如f?x??ax?1?x?的二次函数开始做迭代
xk?1?f?xk? k?0,1,? （2.2.2）
这里，a??0,4?是一个参数。对不同的a系统地观察迭代（2.2.2）的行为。Mathematica程序：
IterGeo[a_, x0_] :=
Module[
{p1, p2, i, pointlist = {}, v= x0, fv= a*x0*(1 - x0)},
p1=Plot[ {a*x*(1 - x), x}, {x, 0, 1}, DisplayFunction -> Identity]; AppendTo[pointlist, {x0, 0}];
For[i = 1, i < 20, i++, AppendTo[pointlist, {v, fv}]; AppendTo[pointlist, {fv, fv}]; v= fv; fv= 4*v*(1 - v)];
p2=ListPlot[pointlist, PlotJoined -> True, DisplayFunction -> Identity];
Show[{p1, p2}, DisplayFunction -> $DisplayFunction] ]
IterGeo[2.6, 0.3]
将区间（0，4］以某个步长?a离散化，对每个离散的a值做迭代（2.2.2），忽略前50个迭代值，而把点?a,x51?，?a,x52?，…，?a,x100?显示在坐标平面上，最后形成的图形称为Feigenbaum图。Mathematica程序：
Clear[f, a, x]; f[a_, x_] := a*x*(1 - x);
x0 = 0.5; r = {}; Do[
For[i = 1, i <= 300, i++, x0 = f[a, x0];
If[i > 100, r = Append[r, {a, x0}]] ],
{a, 3.0, 4.0, 0.01}]; ListPlot[r]
从极限分支点之后，Feigenbaum图显得很杂乱，似乎没有任何规律。实际上，对任何初始值做迭代都会得到同样的结果。这就是所谓的混沌现象。迄今为止，混沌并没有确切的数学定义，但它具有一些基本的特性，如对初值的敏感性以及某种无序性，由此产生类似于随机的现象。
所谓一个迭代对初值是敏感的意思是，无论两个初值如何接近，在迭代过程中它们将渐渐分开。这是任何一个混沌系统都具有的特性之一，这种特性使得混沌系统会产生似乎是随机的、没有规律的现象。在Logistic映射中，取a?4，任取两个初值使得它们之间的差的绝对值不超过0.l，运行下列程序，观察结果后回答问题：在迭代过程中它们逐渐分开吗？如果两个初值之间的差的绝对值不超过0.01，0.001，结果会如何？由此得出，函数f?x??4x?1?x?的迭代对初值是否敏感？其Mathematica程序：
Module[
{pilist = {}, i, temp1=x01, temp2=x02},
For[i=1, i <= n, i++, temp1=4*temp1*(1-temp1); temp2=4*temp2*(1-temp2);
AppendTo[pilist, {i, temp2-temp1}]; ];
ListPlot[pilist, PlotJoined -> True] ]
Sensitivity[50, 0.1, 0.1001]
Sensitivity[n_Integer, x01_, x02_] :=
一个简单的、确定的二次选代可以产生非常复杂的、看似随机的行为。但是，混沌不等于随机。实际上，在混沌区域之内，蕴涵着许多有序的规律。这正验证了哲学上的名言：有序中包含了无序，无序中包含着有序。其Mathematica程序：