总计 50 1
(2)频率分布直方图与累积频率分布图如下
频率组距0.0440.0400.0360.0320.0200.0160.012y0.90.80.70.60.50.40.30.2数据0.1o1015202530354045o1015202530354045x
13例2袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p．
(Ⅰ) 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止． (i)求恰好摸5次停止的概率；
(ii)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为?，求随机变量?的分布率及数学期望E?． (Ⅱ) 若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是
25，求p的值．
命题意图 本题考查利用概率知识和期望的计算方法 知识依托 概率的计算及期望的概念的有关知识
错解分析 在本题中，随机变量的确定，稍有不慎，就将产生失误 技巧与方法 可借助n次独立重复试验概率公式计算概率
18?1??2?解 (Ⅰ)（i）C42????????
381?3??3?22(ii)随机变量?的取值为0，1，2，3，； 由n次独立重复试验概率公式Pn?k??Cnpkk?1?p?n?k，得
1?32?0； P???0??C5??1???3243??1?80? P???1??C???1???3?3?243155141?80?1??2 P???2??C5?????1???3?243?3??23
6
1?17?1?? P???3??C?????1???3?243?3??3532（或P???3??1?32?80?2243?17243）
随机变量?的分布列是
?0 P ?的数学期望是
1 802432 802433 1724332243 E??32243?0?80243?1?80243?2?17243?3?13181 (Ⅱ)设袋子A中有m个球，则袋子B中有2m个球 1由3m?2mp3m?25，得p?1330
例3如图，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2，当元件A、B、C都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作 已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90，分别求系统N1，N2正常工作的概率P1、P2
(N1)(N2)AABBCC
解 记元件A、B、C正常工作的事件分别为A、B、C，
由已知条件P(A)=0.80, P(B)=0.90,P(C)=0.90
(1)因为事件A、B、C是相互独立的，所以，系统N1正常工作的概率
P1=P(A2B2C)=P(A)P(B)P(C)=0.648,故系统N1正常工作的概率为0.648
(2)系统N2正常工作的概率P2=P(A)2［1－P(B?C)］ =P(A)2［1－P(B)P(C)］
=0 803［1－(1－0 90)(1－0 90)］=0 792 故系统N2正常工作的概率为0 792
学生巩固练习
1 甲射击命中目标的概率是
12，乙命中目标的概率是
13，丙命中目标的概率是
14 现
在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为( )
7
A.34 B.23 C.4513 D.710
2 已知随机变量δ的分布列为 P(δ=k)=
,k=1,2,3,则P(3δ+5)等于
A 6 B 9 C 3 D 4
3 1盒中有9个正品和3个废品，每次取1个产品，取出后不再放回，在取得正品前已取出的废品数δ的期望Eδ=_________
4 某班有52人，男女各半，男女各自平均分成两组，从这个班中选出4人参加某项活动，这4人恰好来自不同组别的概率是_________
5 甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.6，计算
(1)两人都击中目标的概率； (2)其中恰有一人击中目标的概率； (3)至少有一人击中目标的概率
?0 x?1?6 已知连续型随机变量δ的概率密度函数f(x)=?x?a 1?x?2
?0 x?2?(1)求常数a的值，并画出δ的概率密度曲线； (2)求P(1＜δ＜
32)
7 设P在［0,5］上随机地取值，求方程x2+px+
p4?12=0有实根的概率
8 设一部机器在一天内发生故障的概率为0 2，机器发生故障时全天停止工作 若一周5个工作日里均无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元，只发生两次故障可获利润0万元，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元。求一周内期望利润是多
少？
参考答案:
1 解析 设甲命中目标为事件A，乙命中目标为事件B，丙命中目标为事件C，则目标被击中的事件可以表示为A+B+C，即击中目标表示事件A、B、C中至少有一个发生
?P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?[1?P(A)]?[1?P(B)]?[1?P(C)] ?(1?12)(1?13)(1?14)?14.故目标被击中的概率为1－P(A2B2C)=1－答案 A
14?3413
2 解析 Eξ=(1+2+3)2
13=2，Eξ=(1+2+3)2
2
2222
=
143
∴Dξ=Eξ－(Eξ)=
22
143－2=23
∴D(3ξ+5)=9Eξ=6 答案 A
8
3 解析 由条件知，ξ的取值为0，1，2，3，并且有P(ξ=0)=
C91C121?34,
P(??1)??E??0?C3C92C1234?1?211?9449,P(??2)?9220C3?C92C121220321?9220,P(??3)?C3C92C12431?1220 答案 0.3
44?2??3??0.34 解析 因为每组人数为13，因此，每组选1人有C1种方法，所以所求概率为13P=(C13)4C5214
答案 (C13)4C5214
5 解 (1)我们把“甲射击一次击中目标”叫做事件A，“乙射击一次击中目标”叫做事件B 显然事件A、B相互独立，所以两人各射击一次都击中目标的概率是P(A2B)?=P(A)2P(B)=0.630.6=0.36
答 两人都击中目标的概率是0.36
(2)同理，两人各射击一次，甲击中、乙未击中的概率是
P(A2B)=P(A)2P(B)=0.63(1－0.6)=0.630.4=0.24
甲未击中、乙击中的概率是P(A2B)=P(A)P(B)=0.24，显然，“甲击中、乙未击中”和“甲未击中、乙击中”是不可能同时发生，即事件A2B与A2B互斥，所以恰有一人击中目标的概率是
P(A2B)+P(A2B)=0.24+0.24=0.48 答 其中恰有一人击中目标的概率是0.48
(2)两人各射击一次，至少有一人击中目标的概率P=P(A2B)+［P(A2B)+P(A)2B］=0.36+0.48=0.84
答 至少有一人击中目标的概率是0.84
6 解 (1)因为ξ所在区间上的概率总和为1，
所以∴a=
1212 (1－a+2－a)21=1,
y32112概率密度曲线如图
o1322?3912x (2)P(1＜ξ＜
32)=?(?1)?21
7 解 一元二次方程有实数根?Δ≥0
9
而Δ=P－4(
2
P4?12)=P－P－2=(P+1)(P－2)
2
解得P≤－1或P≥2 故所求概率为P=
[0.5]?{(??,?1]?[2,??)}的长度[0,5]的长度?35
8 解 以X表示一周5天内机器发生故障的天数，则X－B(5，0.2)，于是X有概率
k分布P(X=k)=C50.20.8
k5－k
,k=0,1,2,3,4,5
以Y表示一周内所获利润，则
?10 若X?0??5 若X?1Y=g(X)=?
0 若X?2???2 若X?3?Y的概率分布为
P(Y=10)=P(X=0)=0.85=0.328
P(Y=5)=P(X=1)=C150.220.84=0.410
2P(Y=0)=P(X=2)=C520.220.8=0.205
23
P(Y=－2)=P(X≥3)=1－P(X=0)－P(X=1)－P(X=2)=0.057 故一周内的期望利润为
EY=1030.328+530.410+030.205－230.057=5.216(万元)
课前后备注
31、题目 高中数学复习专题讲座数学归纳法的解题应用 高考要求
数学归纳法是高考考查的重点内容之一 类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法
重难点归纳
(1)数学归纳法的基本形式
设P(n)是关于自然数n的命题，若
1°P(n0)成立(奠基)
2°假设P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立
(2)数学归纳法的应用
具体常用数学归纳法证明 恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等
典型题例示范讲解
10