学生巩固练习
1 已知函数f(x)=loga［x–(2a)2］对任意x∈［
12,+∞］都有意义，则实数a的取值
范围是( )
A (0,
14] B (0,
14) C ［
14,1) D (
14,
12）
2
2 函数f(x)的定义域为R，且x≠1，已知f(x+1)为奇函数，当x＜1时，f(x)=2x–x+1，
那么当x＞1时，f(x)的递减区间是( )
A ［
54，+∞) B (1,
54] C ［
74,+∞) D (1,
74］
3 关于x的方程lg(ax–1)–lg(x–3)=1有解，则a的取值范围是
4 如果y=1–sin2x–mcosx的最小值为–4，则m的值为
5 设集合A={x｜4–2+a=0,x∈R}
（1）若A中仅有一个元素，求实数a的取值集合B；
xx+2
（2）若对于任意a∈B，不等式x2–6x＜a(x–2)恒成立，求x的取值范围 6 已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数，且a≠0)满足条件:f(x–1)=f(3–x)且方程
f(x)=2x有等根
（1）求f(x)的解析式；
（2）是否存在实数m，n(m＜n＝，使f(x)定义域和值域分别为［m,n］和［4m,4n］，
如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由
7 已知函数f(x)=6x–6x，设函数g1(x)=f(x), g2(x)=f［g1(x)］, g3(x)=f ［g2(x)］,?gn(x)=f
2
［gn–1(x)］,?
（1）求证 如果存在一个实数x0，满足g1(x0)=x0，那么对一切n∈N，gn(x0)=x0都成立； （2）若实数x0满足gn(x0)=x0，则称x0为稳定不动点，试求出所有这些稳定不动点； （3）设区间A=（–∞,0）,对于任意x∈A，有g1(x)=f(x)=a＜0, g2(x)=f［g1(x)］=f(0)＜0，
且n≥2时，gn(x)＜0 试问是否存在区间B（A∩B≠?），对于区间内任意实数x，只要n≥2，都有gn(x)＜0
8 已知函数f(x)=
1a?1x (a＞0,x＞0)
（1）求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数；
（2）若f(x)≤2x在(0,+∞)上恒成立，求a的取值范围；
（3）若f(x)在［m,n］上的值域是［m,n］(m≠n)，求a的取值范围
参考答案
1 解析 考查函数y1=x和y2=(2a)x的图象，显然有0＜2a＜1
由题意答案 A
121?(2a)2得a=
14，再结合指数函数图象性质可得答案
2 解析 由题意可得f(–x+1)=–f(x+1) 令t=–x+1，则x=1–t，
故f(t)=–f(2–t)，即f(x)=–f(2–x) 当x＞1,2–x＜1，
36
于是有f(x)=–f(2–x)=–2(x–答案 C
74)–
2
78，其递减区间为［
74，+∞)
3 解析 显然有x＞3，原方程可化为
ax?1x?3?10
故有(10–a)2x=29,必有10–a＞0得a＜10 又x=
2910?a13＞3可得a＞13
答案
＜a＜10
m2m424 解析 原式化为y?(cosx?)?2
当
m2＜–1,ymin=1+m=–4?m=–5
当–1≤
m2m2≤1,ymin=
?m42=–4?m=±4不符
当
＞1，ymin=1–m=–4?m=5
答案 ±5
5 解 (1)令2=t(t＞0)，设f(t)=t–4t+a
由f(t)=0在(0,+∞)有且仅有一根或两相等实根，则有 ①f(t)=0有两等根时，Δ=0?16–4a=0?a=4 验证 t2–4t+4=0?t=2∈(0,+∞)，这时x=1
x2
②f(t)=0有一正根和一负根时,f(0)＜0?a＜0
③若f(0)=0，则a=0，此时4x–422x=0?2x=0（舍去），或2x=4,∴x=2，即A中只有一个元素
综上所述，a≤0或a=4，即B={a｜a≤0或a=4}
（2）要使原不等式对任意a∈(–∞,0］∪｛4｝恒成立 即g(a)=(x–2)a–(x2–6x)＞0
恒成立 只须
?x?2?x?2?0??2?5?17＜x≤2 ??g(4)?0?x?10x?8?06 解 （1）∵方程ax2+bx=2x有等根，∴Δ=(b–2)2=0,得b=2
由f(x–1)=f(3–x)知此函数图像的对称轴方程为x=–（2）f(x)=–(x–1)2+1≤1，∴4n≤1，即n≤而抛物线y=–x+2x的对称轴为x=1 ∴n≤
142
b2a=1得a=–1，故f(x)=–x2+2x
14
时，f(x)在［m,n］上为增函数
若满足题设条件的m,n存在，则?
?f(m)?4m?f(n)?4n
37
即???m2?2m?4m????m?0或m??2? ??n2?2n?4n?n?0或n??2又m＜n≤
14,∴m=–2,n=0，这时定义域为［–2,0］，值域为［–8,0］
由以上知满足条件的m、n存在，m=–2,n=0
7 (1)证明 当n=1时，g1(x0)=x0显然成立；
设n=k时，有gk(x0)=x0(k∈N)成立， 则gk+1(x0)=f［gk(x0)］=f(x0)=g1(x0)=x0 即n=k+1时，命题成立
∴对一切n∈N,若g1(x0)=x0，则gn(x0)=x0
（2）解 由（1）知，稳定不动点x0只需满足f(x0)=x0
由f(x0)=x0，得6x0–6x20=x0,∴x50=0或x0=6
∴稳定不动点为0和56
(3)解 ∵f(x)＜0，得6x–6x2＜0?x＜0或x＞1
∴gn(x)＜0?f［gn–1(x)］＜0?gn–1(x)＜0或gn–1(x)＞1
要使一切n∈N,n≥2，都有gn(x)＜0，必须有g1(x)＜0或g1(x)＞1
由g2
1(x)＜0?6x–6x＜0?x＜0或x＞1 由g1(x)＞0?6x–6x2＞1?3?36?x?3?36
故对于区间(
3?33?36,6)和(1,+∞)内的任意实数x, 只要n≥2,n∈N，都有gn(x)＜0
8 (1)证明 任取x1＞x2＞0,
f(x1)–f(x2)=(1a?1x)?(1?111ax)??x1?x22x?12x1x
1x2∵x1＞x2＞0,∴x1x2＞0，x1–x2＞0,
∴f(x1)–f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，故f(x)在(0,+∞)上是增函数
（2）解1 ∵
a?1x≤2x在(0,+∞)上恒成立，且a＞0,
∴a≥
1在（0，+∞）上恒成立，
2x?1x令g(x)?122x?1?1?4
x22x?1x（当且仅当2x=
1x即x=
22时取等号），
38
要使a≥
12x?1x在(0,+∞)上恒成立，则a≥24
故a的取值范围是［
24,+∞)
(3)解 由（1）f(x)在定义域上是增函数
∴m=f(m),n=f(n)，即m–故方程x2–
1a2
1am+1=0，n–
2
1an+1=0
x+1=0有两个不相等的正根m，n，注意到m2n=1，
1a故只需要Δ=(
课前后备注
)2–4＞0,由于a＞0，则0＜a＜12
36、题目 高中数学复习专题讲座数形结合思想
高考要求
数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合 应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的
内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决 运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义
及常见曲线的代数特征 重难点归纳
应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化
（1）集合的运算及韦恩图 （2）函数及其图像
（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图像 （4）方程（多指二元方程）及方程的曲线
以形助数常用的有 借助数轴；借助函数图像；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法
以数助形常用的有 借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理
的结合
典型题例示范讲解
2
例1设A={x｜–2≤x≤a}，B={y｜y=2x+3，且x∈A}，C={z｜z=x，且x∈A }，若C?B，
求实数a的取值范围
命题意图 本题借助数形结合，考查有关集合关系运算的题目
知识依托 解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C 进而将C?B用不等式这一数学语言加以转化
39
错解分析 考生在确定z=x2，x∈［–2,a］的值域是易出错，不能分类而论 巧妙观察
图像将是上策 不能漏掉a＜–2这一种特殊情形
技巧与方法 解决集合问题首先看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决
解 ∵y=2x+3在［–2, a］上是增函数
∴–1≤y≤2a+3，即B={y｜–1≤y≤2a+3}
作出z=x2的图像，该函数定义域右端点x=a有三种不同如下
y4a2-2aox的位置情况
①当–2≤a≤0时，a≤z≤4即C={z｜a≤z≤4} 要使C?B,必须且只须2a+3≥4得a≥
1222
与–2≤a＜0矛盾
②当0≤a≤2时，0≤z≤4即C={z｜0≤z≤4}，要使可知
C?B，由图
?2a?3?4必须且只需?
0?a?2?y4解得
12≤a≤2
2
2
③当a＞2时，0≤z≤a，即C={z｜0≤z≤a}，
要使C?B必须且只需 ?a2?2a?3解得2＜a≤3 ??a?2-2oa2xy4④当a＜–2时，A=?此时B=C=?，则C?B成立 -2o2ax综上所述，a的取值范围是(–∞,–2)∪［
12,3］
例2已知acosα+bsinα=c, acosβ+bsinβ=c(ab≠0,α–β≠kπ, k∈Z)求证
cos2???2?c22a?b2
命题意图 本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力
知识依托 解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程 进而由A、B两点坐标特点知其在单位圆上
错解分析 考生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之一 如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二
技巧与方法 善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意
义，这样才能巧用数形结合方法完成解题
证明:在平面直角坐标系中，点A（cosα,sinα）与点B（cosβ,
22
sinβ）是直线l:ax+by=c与单位圆x+y=1的两个交点如图
从而 ｜AB｜2=(cosα–cosβ)2+(sinα–sinβ)2
=2–2cos(α–β)
40