例1试证明 不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c
nnn
互不相等时，均有 a+c＞2b
命题意图 本题主要考查数学归纳法证明不等式
知识依托 等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤
错解分析 应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况
技巧与方法 本题中使用到结论 (a－c)(a－c)＞0恒成立(a、b、c为正数)，从而ak+1+ck+1＞ak2c+ck2a
kk
证明 (1)设a、b、c为等比数列，a=
bq,c=bq(q＞0且q≠1)
∴a+c=
nn
bqnn+bq=b(
nnn
1qn+q)＞2b
nn
(2)设a、b、c为等差数列， 则2b=a+c猜想
an?c2n＞(
a?c2)n(n≥2且n∈N*)
下面用数学归纳法证明
①当n=2时，由2(a+c)＞(a+c)，∴②设n=k时成立，即则当n=k+1时，
＞
14ak?1222
a2?c22?(a?c2)
2ak?c2k?1k?(?14a?c2),
k?c2 (a
k+1
+c+a
14k+1k+1
+c)
k+1
(ak+1+ck+1+ak2c+ck2a)=
)2(
k
(ak+ck)(a+c)
＞(
a?c2a?c2)=(
a?c2)
k+1
也就是说，等式对n=k+1也成立
由①②知，an+cn＞2bn对一切自然数n均成立
例2在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，an,Sn,Sn－(1)求a2,a3,a4，并推出an的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论；
12成等比数列
(3)求数列{an}所有项的和
命题意图 本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识
知识依托 等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤 采用的方法是归纳、猜想、证明
错解分析 (2)中，Sk=－
12k?3应舍去，这一点往往容易被忽视
技巧与方法 求通项可证明{
1Sn}是以{
1S1}为首项，
12为公差的等差数列，进而求得
通项公式
解 ∵an,Sn,Sn－
12成等比数列，
11
∴S2
*
n=an2(Sn－
12)(n≥2) ()
(1)由a21=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－3
由a1=1，a2=－
23,S=
1*23 a3+a3代入()式得3=－
15
?1 (n?1)同理可得 a=－2?435,由此可推出 an=?2 ???(2n?3)(2n?1) (n?1)(2)①当n=1,2,3,4时，由(*
)知猜想成立
②假设n=k(k≥2)时，ak=－2(2k?3)(2k?1)成立
故S2k=－
2(2k?3)(2k?1)2(S1k－
2)
∴(2k－3)(2k－1)S2k+2Sk－1=0 ∴Sk=
12k?1,S1k??2k?3 (舍)
由S2=a11k+1k+12(Sk+1－
2),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－
2)
?1?a22ak?12?1(2k?1)2k?1?2k?1?ak?1?ak2k?1?12ak?1
?a2k?1??[2(k?1)?3][2(k?1)?1],即n?k?1命题也成立.?1(n?1)由①②知，a?n=?对一切n∈N成立??2?(2n?3)(2n?1)(n?2) (3)由(2)得数列前n项和Sn=
12n?1,∴S=limSn=0
n??例3是否存在a、b、c使得等式1222+2232+?+n(n+1)2=n(n?1)212(an+bn+c) 解 假设存在a、b、c使题设的等式成立，
??4?1(a?b??6c)?a?3这时令n=1,2,3,有??22?1(4a?2b?c) ???b?11?2
??70?9a?3b?c?c?10??于是，对n=1,2,3下面等式成立 1222+2232+?+n(n+1)2=
n(n?1)212(3n?11n?10)
记S2
2
n=122+223+?+n(n+1)2
12
设n=k时上式成立，即Sk=那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2===
(k?1)(k?2)12(k?1)(k?2)12k(k?1)122 (3k+11k+10)
2
k(k?1)(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2
(3k2+5k+12k+24) ［3(k+1)+11(k+1)+10］
2
也就是说，等式对n=k+1也成立
综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立
学生巩固练习
1 已知f(n)=(2n+7)23n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )
A 30 B 26 C 36 D 6
2 用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证( ) A n=1 B n=2 C n=3 D n=4
3 观察下列式子 1?12?32,1?122?132?53,1?122?132?142?74?则可归纳出
________
4 已知a1=
12,an+1=
3anan?3,则a2,a3,a4,a5的值分别为________，由此猜想an=________
5 用数学归纳法证明42n?1+3
n+2
能被13整除，其中n∈N
*
6 若n为大于1的自然数，求证 1n?1?1n?2???12n?1324
7 已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+?+b10=145
(1)求数列{bn}的通项公式bn; (2)设数列{an}的通项an=loga(1+
131bn)(其中a＞0且a≠1)记Sn是数列{an}的前n项和，试
比较Sn与
logabn+1的大小，并证明你的结论
8 设实数q满足|q|＜1,数列{an}满足 a1=2,a2≠0,an2an+1=－qn,求an表达式，又如果
limS2n＜3,求q的取值范围
n??
参考答案
1 解析 ∵f(1)=36,f(2)=108=3336,f(3)=360=10336
∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除 证明 n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时，
f(k)=(2k+7)23k+9能被36整除，则n=k+1时， f(k+1)－f(k)=(2k+9)23k+1?－(2k+7)23k =(6k+27)23k－(2k+7)23k
13
=(4k+20)23k=36(k+5)23
k－2
?(k≥2)
?f(k+1)能被36整除
∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m值等于36 答案 C
2 解析 由题意知n≥3，∴应验证n=3
答案 C
3 解析1?1?1 1?22?32即1?1(1?1)2?21?1
1?1?122?132?53,即1?1(1?1)2?12?2(2?1)2?2?1
归纳为1?11?1(n∈N*)
22?132???(n?1)2?2nn?1答案:1?1?1*
2232???1?2n?1(n?1)2n?1(n∈N)
3?14.解析:aa132?3a?21?37?1?32同理,2?3?5aa233?3a?3?8?33?5,a334?9?4?5,a5?310?35?5,猜想an?32n?5答案:3337、
38、
9、
10
3n?5
5 证明 (1)当n=1时，4231+1+31+2=91能被13整除
(2)假设当n=k时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时， 42(k+1)+1+3k+3=42k+1242+3k+223－42k+123+42k+123 =42k+1213+32(42k+1+3k+2?) ∵42k+1213能被13整除，42k+1
+3
k+2
能被13整除
∴当n=k+1时也成立
由①②知，当n∈N*时，42n+1+3n+2能被13整除
6 证明1 (1)当n=2时，
2?1?12?2?712?1324
(2)假设当n=k时成立，即
1k?1?1k?2???12k?1324
则当n?k?1时,111k?2?1k?3???2k?12k?1?12k?2?1k?1?k?1?1311?11324?2k?1?2k?2k?1?24?112k?1?2k?2?131324?12(2k?1)(k?1)?247 (1)解 设数列{bn}的公差为d,
14
?b1?1由题意得??b10(10?1)??1?1?,∴bn=3n－2 ??10b1?2d?145?d?3(2)证明 由bn=3n－2知
S1n=loga(1+1)+loga(1+4)+?+log1a(1+
3n?2)
=loga［(1+1)(1+1)?(1+ 143n?2)］
而
13log1abn+1=loga33n?1,于是，比较Sn与
3logabn+1?的大小
?比较(1+1)(1+14)?(1+
13n?1的大小3n?2)与3
取n=1，有(1+1)=38?34?33?1?1
取n=2，有(1+1)(1+134)?38?7?33?2?1
推测 (1+1)(1+
14)?(1+
13n?2)＞33n?1 (*)
①当n=1时，已验证(*
)式成立
②假设n=k(k≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+14)?(1+
13k?2)＞33k?1则当n=k+1时，
(1?1)(1?14)?(1?13k?2)(1?13(k?1)?2)?33k?1(1?13k?1)
?3k?233k?13k?1
?(3k?2333k?13k?1)?(33k?4)3?(3k?2)3?(3k?4)(3k?1)2(3k?1)2?9k?4(3k?1)2?0
3?3k?13k?1(3k?2)?33k?4?33(k?1)?1从而(1?1)(1?14)?(1?13k?2)(1?13k?1)?33(k?1)?1,
即当n=k+1时，(*)式成立
由①②知，(*
)式对任意正整数n都成立
于是，当a＞1时，S1n＞3logabn+1?,
当 0＜a＜1时，S1n＜
3logabn+1?
8 解 ∵a12a2=－q,a1=2,a2≠0,
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