11若a＜0,∵f′(x)=3a(x+
)2(x－
),
3|a|3|a|此时f(x)恰有三个单调区间
∴a＜0且单调减区间为(－∞,－
1)和(
1,+∞)，
3|a|3|a|单调增区间为(－
1,
1)
3|a|3|a|6 解a f′(x)=
x+2bx+1
(1)由极值点的必要条件可知 f′(1)=f′(2)=0,
即a+2b+1=0,且a2+4b+1=0,解方程组可得a=－
23,b=－
16,
∴f(x)=－
2lnx－
136x2
+x
(2)f′(x)=－
2x-1－
133x+1,当x∈(0,1)时，f′(x)＜0,
当x∈(1,2)时，f′(x)＞0, 当x∈(2,+∞)时，f′(x)＜0,
故在x=1处函数f(x)取得极小值5,在x=2处函数取得极大值4－
2633ln2 7 证法一 ∵b＞a＞e,∴要证ab＞ba
,只要证blna＞alnb,
设f(b)=blna－alnb(b＞e),则f′(b)=lna－ab
∵b＞a＞e,∴lna＞1,且
ab＜1,∴f′(b)＞0
∴函数f(b)=blna－alnb在(e,+∞)上是增函数， ∴f(b)＞f(a)=alna－alna=0,即blna－alnb＞0, ∴blna＞alnb,∴ab＞ba
证法二 要证ab＞ba,只要证blna＞alnb(e＜a＜b)lnab,即证
a?lnb,
设f(x)=
lnxx(x＞e)，则f′(x)=
1?lnxx2＜0,
∴函数f(x)在(e,+∞)上是减函数，又∵e＜a＜b, ∴f(a)＞f(b),即
lnaba?lnb,∴ab＞ba
8 解 (1)?8f(α)=
,f(β)=
?8a2?16?aa2,f(α)=f(β)=4
?16?a(2)设φ(x)=2x2－ax－2,则当α＜x＜β时，φ(x)＜0,
f?(x)?(4x?a)?(x2?1)?(4x?a)(x2?1)?2(x2?1)2?4(x?1)?2x(4x?a)(x2?1)2
31
??2(2x?ax?2)(x?1)222??2?(x)(x?1)22?0
∴函数f(x)在(α，β)上是增函数
(3)函数f(x)在［α，β］上最大值f(β)＞0,最小值f(α)＜0, ∵|f(α)2f(β)|=4,
∴当且仅当f(β)=－f(α)=2时，
f(β)－f(α)=|f(β)|+|f(α)|取最小值4，此时a=0,f(β)=2.
课前后备注
新教材中的思维观点?
数学科学具有高度的综合性、很强的实践性，不断的发展性，中学数学新教材打破原教材的框架体系，新增添了工具性、实践性很强的知识内容，正是发展的产物 新教材具有
更高的综合性和灵活多样性，更具有朝气与活力，因此，把握新教材的脉搏，培养深刻严谨灵活的数学思维，提高数学素质成为燃眉之需 ?
新教材提升与增添的内容包括简易逻辑、平面向量、空间向量、线性规划、概率与统计、导数、研究型课题与实习作业等，这使得新教材中的知识内容立体交叉，联系更加密切，联通的渠道更多，并且富含更高的实用性 因此在高考复习中，要通过总结、编织科学的知识网络，求得对知识的融会贯通，揭示知识间的内在联系 做到以下几点
一、深刻领会数学思想方法，把立足点放在提高数学素质上 数学的思想方法是数学
的精髓，只有运用数学思想方法，才能把数学的知识与技能转化为分析问题与解决问题的能力，才能形成数学的素质 知识是能力的载体，领悟并逐步学会运用蕴含在知识发生发展
和深化过程中，贯穿在发现问题与解决问题过程中的数学思想方法，是从根本上提高素质，提高数学科能力的必由之路，只有通过对数学思想方法的不断积累，不断总结经验，才能从知识型向能力型转化，不断提高学习能力和学习水平 ?
二、培养用化归（转化）思想处理数学问题的意识 数学问题可看作是一系列的知识
形成的一个关系链 处理数学问题的实质，就是实现新问题向旧问题的转化，复杂问题向简单问题的转化，实现未知向已知的转化。虽然解决问题的过程不尽相同，但就其思考方式
来讲，通常将待解决的问题通过一次又一次的转化，直至化归为一类已解决或很容易解决的问题，从而求得原问题的解答 ?
三、提高用函数方程思想方法分析问题解决问题的能力 函数思想的实质是抛开所研
究对象非数学的特性，用联系和变化的观点，建立各变量之间固有的函数关系 与这种思想相联系的就是方程的思想，在解决数学问题时，将所求的量（或与所求的量相关的量）设
成未知数，用它来表示问题中的其他各量，根据题中隐含的等量关系去列方程，以求得问题的解决 ?
数学思维是科学思维的核心，思维的基石在于逻辑推理，逻辑思维能力是数学能力的核心，逻辑推理是数学思维的基本方法 ?
我国著名的数学家华罗庚先生认为，学习有两个过程 一个是“从薄到厚，一个是从
厚到薄”，前者是“量”的积累，后者是“质”的飞跃 雄关漫道真如铁，而今迈步从头越，只要同学们在学习中不断积累，不断探索，不断创新，定能在高考中取得骄人战绩！
35、题目 高中数学复习专题讲座函数方程思想
高考要求
函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多 函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图像与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨
32
论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决
重难点归纳
函数与方程的思想是最重要的一种数学思想，要注意函数，方程与不等式之间的相互联系和转化 考生应做到
（1）深刻理解一般函数y=f(x)、y=f–1(x)的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换），熟练掌握基本初等函数的性质，这是应用函数思想解题的基础
（2）密切注意三个“二次”的相关问题，三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系 掌握二次函
数基本性质，二次方程实根分布条件，二次不等式的转化策略
典型题例示范讲解
例1已知函数f(x)=logm
x?3x?3
(1)若f(x)的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断f(x)在定义域上的增减性，并加以说明；
(2)当0＜m＜1时，使f(x)的值域为［logm［m(β–1)］，logm［m(α–1)］］的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由
命题意图 本题重在考查函数的性质，方程思想的应用
知识依托 函数单调性的定义判断法；单调性的应用；方程根的分布；解不等式组
错解分析 第(1)问中考生易忽视“α＞3”这一关键隐性条件；第(2)问中转化出的方程，
不能认清其根的实质特点，为两大于3的根
技巧与方法 本题巧就巧在采用了等价转化的方法，借助函数方程思想，巧妙解题
解 （1）
x?3x?3?0?x＜–3或x＞3
∵f(x)定义域为［α,β］,∴α＞3 设β≥x1＞x2≥α，有
x1?3x1?3?x2?3x2?3?6(x1?x2)(x1?3)(x2?3)?0
当0＜m＜1时，f(x)为减函数，当m＞1时，f(x)为增函数
（2）若f(x)在［α,β］上的值域为［logmm(β–1),logmm(α–1)］
∵0＜m＜1, f(x)为减函数
?f(?)?log??∴??f(?)?log????3m??3??3??3?log?logmm(??1)
mmm(??1)2??m??(2m?1)??3(m?1)?0即?,又????3
2??m??(2m?1)??3(m?1)?0即α,β为方程mx+(2m–1)x–3(m–1)=0的大于3的两个根
2
33
?0?m?1?2??16m?16m?1?0?2?3?∴?2m?1 ∴0＜m＜
4?3??2m???mf(3)?0故当0＜m＜
2?43时，满足题意条件的m存在
例2已知函数f(x)=x2–(m+1)x+m(m∈R)
(1)若tanA,tanB是方程f(x)+4=0的两个实根，A、B是锐角三角形ABC的两个内角 求证 m≥5;
(2)对任意实数α,恒有f(2+cosα)≤0，证明m≥3;
(3)在(2)的条件下，若函数f(sinα)的最大值是8，求m
命题意图 本题考查函数、方程与三角函数的相互应用；不等式法求参数的范围
知识依托 一元二次方程的韦达定理、特定区间上正负号的充要条件，三角函数公式
错解分析 第(1)问中易漏掉Δ≥0和tan(A+B)＜0，第(2)问中如何保证f(x)在［1,3］恒小于等于零为关键
技巧与方法 深挖题意，做到题意条件都明确，隐性条件注意列 列式要周到，不遗
漏
（1）证明 f(x)+4=0即x–(m+1)x+m+4=0 依题意
2
???(m?1)2?4(m?4)?0??tanA?tanB?m?1?0 ?tanA?tanB?m?4?0?又A、B锐角为三角形内两内角 ?∴＜A+B＜π
2∴tan(A+B)＜0，即tan(A?B)??m2?2m?15?0?m?1?0??∴?m?4?0∴m≥5 ??m?1?0??m?3tanA?tanB1?tanAtanB?m?1?m?3?0
(2)证明 ∵f(x)=(x–1)(x–m)
又–1≤cosα≤1，∴1≤2+cosα≤3，恒有f(2+cosα)≤0 即1≤x≤3时，恒有f(x)≤0即(x–1)(x–m)≤0 ∴m≥x但xmax=3，∴m≥xmax=3 (3)解
∵f(sinα)=sinα–(m+1)sinα+m=(sin??2
m?12)?m?2(m?1)42
34
且
m?12≥2,
∴当sinα=–1时，f(sinα)有最大值8 即1+(m+1)+m=8，∴m=3
例3关于x的不等式2232x–3x+a2–a–3＞0，当0≤x≤1时恒成立，则实数a的取值
范围为
解析 设t=3，则t∈［1,3］，
x
原不等式可化为a2–a–3＞–2t2+t,t∈［1,3］
等价于a2–a–3大于f(t)=–2t2+t在［1,3］上的最大值
答案 (–∞,–1)∪(2,+∞)
例4对于函数f(x)，若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点 已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)
（1）若a=1,b=–2时，求f(x)的不动点；
（2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若y=f(x)图像上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B关于直线y=kx+
12a?12对称，求b的最小值
解 （1）当a=1,b=–2时，f(x)=x2–x–3，
2
由题意可知x=x–x–3，得x1=–1,x2=3
故当a=1,b=–2时，f(x)的两个不动点为–1,3
（2）∵f(x)=ax+(b+1)x+(b–1)(a≠0)恒有两个不动点， ∴x=ax+(b+1)x+(b–1)，
即ax2+bx+(b–1)=0恒有两相异实根 ∴Δ=b2–4ab+4a＞0(b∈R)恒成立 于是Δ′=(4a)2–16a＜0解得0＜a＜1
2
2
故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时，0＜a＜1
（3）由题意A、B两点应在直线y=x上，设A(x1,x1),B(x2,x2)
又∵A、B关于y=kx+
12a?12对称
∴k=–1 设AB的中点为M(x′,y′)
∵x1,x2是方程ax+bx+(b–1)=0的两个根
2
∴x′=y′=
x1?x22??b2a，
1又点M在直线y??x?即b??a2a?122a?12上有?b2a?b2a?12a?12，
??12a?1a
∵a＞0，∴2a+
1a≥22当且仅当2a=
1a即a=
22∈(0,1)时取等号，
故b≥–
122，得b的最小值–24
35