如图，音叉P沿着半径r＝8m的圆以角速度ω=4rad/s做匀速圆周运动．音叉发出频率为f0＝500 Hz的声波，声波的速度为v＝330 m/s．观察者Ｍ与圆周共面，与圆心Ｏ的距离为d＝2r．试问当角θ为多大时，观察到的频率为最高或最低，并求其数值．声源移动速度为Rω，相对观察者接近或背离速度设为u，uV有f??f0V?R?sin(???)θRωr2r又?sin?sin(???)?φ当(???)?90时f?有最值,此时θ＝60°或θ＝300°
f最大?554Hzf最小?456Hz专题13-例7
到了晚上，地面辐射降温使空气层中产生温度梯度，
温度随高度递增，这导致声速v随高度y变化，假定变化规律
22为：．式中v0是地面（y＝０处）的声速，a为比例系v?v0(1?ay)数．今远方地面上某声源发出一束声波，发射方向与竖直成θ角．假定在声波传播范围内<<１，试求该声波在空间传播的轨ay迹，并求地面上听得最清晰的地点与声源的距离S．
y声波波线即声传播轨迹!寂静区第i层?y?iv0夜间根据折射定律:０?1?0?x2白天1?寂静区xvisin?iv1sin?1v2sin?2?,?,??,?v0sin?0v1sin?1vi?1sin?i?1vi可得sin?i?sin?0v0由于声速沿y轴递增，折射角θi,逐渐增大，开始一段声传播的径迹大致如图!
续解
第i层声波波线视为直线,有
?y?cot?i??x?201?12sin?i查阅1v??122visin?0?1?ay?222sin?02?11?sin?012?sin?0221?2ay21222sin?x?1?2ay?sin?0sin?0222acos?022a2?cot?1?y?1?y022cos?0sin?0cos?02acos?22续0由y?sin?xsin解?x可得波线方程为y?2cos?02a2对待定方程y?cos?02acot?0cos?x??比较??cos?x?sin?02a?2a?于是得声传播轨迹方程:cos?0y??sin??x?0??sin?2a0??2a?sin?0可知地面上听得最清点距声源
x??x???S1sin?02a02asin??x??x??sin?x?ycos?0lim?lim?x?0?x?x?0?x2a?y?0x??x?x??x2cos?sin?cos?022?lim??x2a?x?02cos?sin?x求斜率在海洋中声速随深度、温度和含盐量变化．已知声速
随深度变化规律如图，最小声速出现在海洋表面与海底之间．坐标原点取在声速最小处，za、zb分别表示海面和海底的坐标．则声速v与z的关系为
?v0?bz?v??v0?v?bz?0(z?0)(z?0)(z?0)其中b为常量．今在x=0，z=0处放臵一声源S，在xz平面内，从S发出的声波的传播方向用初始发射角θ0表示．声速的不均匀将导致波射线的弯曲．试证明在zx平面内声波的初始轨迹为圆，并求出其半径．
z
在xz平面将海水分成与x轴平行的z
a
n薄层(n→∞)，各层的波速可视为不变，波在各层传播时遵循折射定律，第i层
的波速为vi，波在该薄层两界面上的折Ovvo射角为θi，在下一层的折射角为θi+1，每经过一薄层，声波传播方向改变
zb续解Δθ=θi+1－θi