圆锥曲线（一）
解析几何
1．（本小题共14分）
x2y2已知椭圆G:2?2?1(a?b?0)的离心率为6，右焦点为（22,0），斜
ab3率为I的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3,2）.
（I）求椭圆G的方程；（II）求?PAB的面积.
（1）解：（Ⅰ）由已知得c?22,c6?.解得a?23.，又b2?a2?c2?4. a3x2y2所以椭圆G的方程为??1.
124（Ⅱ）设直线l的方程为y?x?m.
?y?x?m?22由?x2得4x?6mx?3m?12?0. y2?1??4?12设A、B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1?x2),AB中点为E(x0,y0)， 则x0?x1?x2m3m??,y0?x0?m?；因为AB是等腰△PAB的底边， 244m4??1.解得m=2。 所以PE⊥AB.所以PE的斜率k?3m?3?42?此时方程①为4x?12x?0.解得x1??3,x2?0.所以y1??1,y2?2. 所以|AB|=32.此时，点P（—3，2）到直线AB：x?y?2?0的距离
2d?
|?3?2?2|2?3219,所以△PAB的面积S=|AB|?d?. 222圆锥曲线（一）
2.(本小题满分12分）
已知过抛物线y2?2px?p?0?的焦点，斜率为22的直线交抛物线于
A?x1,y2?,B?x2,y2?（x1?x2）两点，且AB?9．
（1）求该抛物线的方程；
（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC?OA??OB，求?的值．
py?22(x?),与y2?2px联立，从而有4x2?5px?p2?0,2．解析：（1）直线AB的方程是 2所以：x1?x2?5p，由抛物线定义得：AB?x1?x2?p?9，所以p=4， 42抛物线方程为：y?8x
224x?5px?p?0,化简得x2?5x?4?0，从而x?1,x?4,y??22,y?42,（2）、由p=4，1212从而A:(1,?22),B(4,42)
设OC?(x3,y3)?(1,?22)??(4,42)=(1?4?,?22?42?)，又y3?8x3，即22?2??1??8
2???2（4??1），即(2??1)?4??1，解得??0,或??2
2圆锥曲线（一）
3．(2010年高考全国2卷理数21）（本小题满分12分）
x2y2己知斜率为1的直线l与双曲线C：2?2?1?a＞0，b＞0?相交于B、D两点，
ab且BD的中点为M?1,3?． （Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，DF?BF?17，
证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．
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XXK]
【命题意图】本题主要考查双曲线的方程及性质，考查直线与圆的关系，既考查考生的基础知识掌握情
况，又可以考查综合推理的能力. 【参考答案】
圆锥曲线（一）
【点评】高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目，命题者将好多考点以圆锥曲线为背景来考查，如向量问题、三角形问题、函数问题等等，试题的难度相对比较稳定.
圆锥曲线（一）
4.如题（21）图，椭圆的中心为原点0，离心率e= （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
2，一条准线的方程是x?22 2????????????? （Ⅱ）设动点P满足：OP?OM?2ON，其中M、N
是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为?1，2问：是否存在定点F，使得PF与点P到直线l：
x?210的距离之比为定值；若存在，求F的坐
标，若不存在，说明理由。
题（21）图
c2a2,?22, 解：（I）由e??a2c解得a?2,c?2,b2?a2?c2?2，故椭圆的标准方程为
x2y2??1. 42 （II）设P(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2)，则由
?????????????OP?OM?2ON得
(x,y)?(x1,y1)?2(x2,y2)?(x1?2x2,y1?2y2),即x?x1?2x2,y?y1?2y2.因为点M，N在椭圆x?2y?4上，所以
22x12?2y12?4,x2?2y2?4，
22故x?2y?(x1?4x2?4x1x2)?2(y1?4y2?4y1y2)
22?(x12?2y12)?4(x2?2y2)?4(x1x2?2y1y2)222222?20?4(x1x2?2y1y2).
设kOM,kON分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知
kOM?kON?y1y21??,因此x1x2?2y1y2?0,所以x2?2y2?20. x1x22x2(25)2所以P点是椭圆
?y2(10)2?1上的点，该椭圆的右焦点为F(10,0，)离心率