圆锥曲线（一）
8．（2010年高考江苏卷试题18）（本小题满分16分）
22xy在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆??1的左、右顶点为
95A、B，右焦点为F。设过点T（t,m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点 M(x1,y1)、N(x2,y2)，其中m>0,y1?0,y2?0。 （1）设动点P满足PF2?PB2?4,求点P的轨迹； （2）设x1?2,x2?，求点T的坐标；
（3）设t?9,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。
[解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分16分。
（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。
13圆锥曲线（一）
由PF2?PB2?4，得(x?2)?y?[(x?3)?y]?4, 化简得x?22229。 2
故所求点P的轨迹为直线x?（2）将x1?2,x2?9。 215120分别代入椭圆方程，以及y1?0,y2?0得：M（2，）、N（，?） 33391y?0x?3直线MTA方程为：，即y?x?1， ?53?02?3355y?0x?3直线NTB 方程为：，即y?x?。 ?20162??0?393?x?7?联立方程组，解得：?10，
y??3?所以点T的坐标为(7,10)。 3（3）点T的坐标为(9,m)
y?0x?3m，即y??(x?3)，
m?09?312y?0x?3m直线NTB 方程为：，即y?(x?3)。 ?m?09?36直线MTA方程为：
x2y2??1联立方程组，同时考虑到x1??3,x2?3， 分别与椭圆953(80?m2)40m3(m2?20)20m,)N(,?)。 解得：M(、222280?m80?m20?m20?m20m3(m2?20)y?x?2220?m20?m（方法一）当x1?x2时，直线MN方程为： ?2240m20m3(80?m)3(m?20)??22280?m20?m80?m20?m2 令y?0，解得：x?1。此时必过点D（1，0）；
当x1?x2时，直线MN方程为：x?1，与x轴交点为D（1，0）。 所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。
圆锥曲线（一）
240?3m23m2?60（方法二）若x1?x2，则由及m?0，得m?210， ?2280?m20?m此时直线MN的方程为x?1，过点D（1，0）。
若x1?x2，则m?210，直线MD的斜率kMD40m210m80?m， ??240?3m240?m2?180?m2?20m210m20?m直线ND的斜率kND?，得kMD?kND，所以直线MN过D点。 ?223m?6040?m?120?m2因此，直线MN必过x轴上的点（1，0）。
9．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于?.
(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。
（19）（共14分）
www.@ks@5u.com13圆锥曲线（一）
（I）解：因为点B与A(?1,1)关于原点O对称，所以点B得坐标为(1,?1). 设点P的坐标为(x,y) 由题意得
y?1y?11??? x?1x?1322 化简得 x?3y?4(x??1).
故动点P的轨迹方程为x?3y?4(x??1)
（II）解法一：设点P的坐标为(x0,y0)，点M，N得坐标分别为(3,yM),(3,yN). 则直线AP的方程为y?1?22y0?1y?1(x?1)，直线BP的方程为y?1?0(x?1) x0?1x0?1令x?3得yM?4y0?x0?32y0?x0?3，yN?.
x0?1x0?1于是?PMN得面积 S?PMN|x0?y0|(3?x0)21?|yM?yN|(3?x0)? 2|x02?1|又直线AB的方程为x?y?0，|AB|?22， 点P到直线AB的距离d?于是?PAB的面积 S?PAB?当S?PAB|x0?y0|2.
1|AB|?d?|x0?y0| 2|x0?y0|(3?x0)2?S?PMN时，得|x0?y0|? 2|x0?1|又|x0?y0|?0，
所以(3?x0)2=|x02?1|，解得|x0?因为x0?3y0?4，所以y0??225。 333 9故存在点P使得?PAB与?PMN的面积相等，此时点P的坐标为(,?5333). 9解法二：若存在点P使得?PAB与?PMN的面积相等，设点P的坐标为(x0,y0)
圆锥曲线（一）
11|PA|?|PB|sin?APB?|PM|?|PN|sin?MPN. 22 因为sin?APB?sin?MPN,
则 所以
|PA||PN| ?|PM||PB||x0?1||3?x0| ?|3?x0||x?1| 所以
即 (3?x0)2?|x02?1|，解得x0? 因为x02?3y02?4，所以y0??5 333 9 故存在点PS使得?PAB与?PMN的面积相等，此时点P的坐标为(,?
22.（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
5333). 9x22已知椭圆C:2?y?1（常数m?1），P是曲线C上的动点，M是曲线C上的右顶点，定点A的坐
m标为(2,0)