圆锥曲线（一）
e?2,直线l:x?210是该椭圆的右准线，故根据椭圆的第二定义，存在定点F(10,0)，使得2|PF|与P点到直线l的距离之比为定值。
圆锥曲线（一）
x2y25. P(x0,y0)(x0??a)是双曲线E：2?2?1(a?0,b?0)上一点，M，N分别是双曲线E的左、
ab右顶点，直线PM，PN的斜率之积为
1. 5（1）求双曲线的离心率；
（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A、B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一
1?AC?1,AC?AB?2，
2222又BC?AC?AB，从而BC?3,又?PA?PB?AC?BC?4?22，所以
点，满足OC??OA?OB，求?的值. 解析（1）?AB?22,S?ABC?---?---?---?点在以A、B为焦点，长半轴a?2，半焦距c?2，短半轴b?2的椭圆E(y?1)上，?曲线E的
x2(y?1)2方程为??1(y?1).
42（2）设直线l:y?x?m3y2?2(m?2)y?m2?2?0,令，代入E的方程，消
x，可以
得有
f(y)?3y2?2(m?2)y?m2?2,?方程f(y)?0有两个不1，小且于不相等所
????4(m?2)2?12(m2?2)?0,?2解之得3?m?1?6,设QR的中点为M(x,y),QR两点的坐标分?f(1)?m?2m?3?0,?m?2??1.?3别为Q(x1,y1),R(x2,y2)，?y?y1?y2m?256??y?1?，将m?3y?2代入y?x?m得?33231561)即为M点的轨迹方程。 y??x?1,所以y??x?1(?y?1?2332
x2y2【解析】（1）点P(x0,y0)(x0??a)是双曲线E：2?2?1(a?0,b?0)上，有
aby0y0xy1??，可得a2?5b2，c2?a2?b2?6b2 02?02?1，由题意又有
x0?ax0?a5ab则e?22c30? a5?x2?5y2?5b222（2）联立?，得4x?10cx?35b?0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)
?y?x?c圆锥曲线（一）
5c?x?x?12?---?---?---?---??x3??x1?x2?2OC??OA?OB则?，设，，即 OC?(x3,y3)?2?y3??y1?y2?xx?35b12?4?222又C为双曲线上一点，即x3?5y3?5b，有(?x1?x2)?5(?y1?y2)?5b
222化简得：?(x1?5y1)?(x2?5y2)?2?(x1x2?5y1y2)?5b
又A(x1,y1)，B(x2,y2)在双曲线上，所以x1?5y1?5b，x2?5y2?5b 由（1）式又有
222222222222x1x2?5y1y2?x1x2?5(x1?c)(x2?c)??4x1x2?5c(x1?x2)?5c2?10b2
得：??4??0，解出??0，或???4
26．已知平面内一动点P到点F（1，0）的距离与点P到y轴的
距离的之差等于1． （I）求动点P的轨迹C的方程；
（II）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1,l2，设l1与
????????轨迹C相交于点A,B，l2与轨迹C相交于点D,E，求AD?EB的最小值．
22解析：（I）设动点P的坐标为(x,y)，由题意为(x?1)?y?|x|?1.
化简得y?2x?2|x|,当x?0时,y?4x;当x?0时,y=0.、 所以动点P的轨迹C的方程为,y?4x(x?0)和y=0(x?0).
（II）由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y?k(x?1)．
222?y?k(x?1)2222由?，得kx?(2k?4)x?k?0. 2?y?4x设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根，于是 x1?x2?2?4,x1x2?1． 2k圆锥曲线（一）
因为l1?l2，所以l2的斜率为?1．设D(x3,y3),B(x4,y4),则同理可得： kx3?x4?2?4k2,x3x4?1 ????????????????????????AD?EB?(AF?FD)?(EF?FB)?????????????????????????????????AF?EF?AF?FB?FD?EF?FD?FB?????????????????|AF|?|FB|?|FD|?|EF|故?(x1?1)(x2?1)?(x3?1)(x4?1)
?1?(2?42)?1?1?(2?4k)?12k121)?8?4?2k?2?162kk????????12当且仅当k?2即k??1时，AD?EB取最小值16．
k?8?4(k2?
点差法
圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点A（x1,y1），B（x2,y2）的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得x1+x2, y1+y2, x1-x2, y1-y2 等关系式，由于弦AB的中点P（x, y）的坐标满足2x= x1+x2, 2y= y1+y2且直线AB的
y?y斜率为21，由此可求得弦AB的中点的轨迹方程。
x2?x1
7． 已知以
P（2，2）为圆心的圆与椭圆x2+2y2=m交于A、B两点，
求弦AB的中点M的轨迹方程。
圆锥曲线（一）
解 设M（x, y），A（x1, y1），B（x2, y2） 则x1+x2=2x , y1+y2 = 2y
y1?y21??x1?x222?2y2?m，x2?2y2?m 由x1122 Y A ．P ． M B X 两式相减并同除以（x1-x2）得
x1?x2y?y1x , 而kAB= 12 ??y1?y22yx1?x2O kPM=
y?2, 又因为PM⊥AB所以kAB×kPM=－1 x?21xy?2???1 2yx?2故 ?
化简得点M的轨迹方程xy +2x- 4y=0