圆锥曲线（一）
8．设为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上。已知P、，求
的值。
、是一个直角三角
形的三个顶点，且
解：由椭圆方程可知a=3，b=2，并求得，离心率。
由椭圆的对称性，不妨设P（应为左焦半径，
，）（）是椭圆上的一点，则由题意知
应为右焦半径。
由焦半径公式，得，。
（1）若∠为直角，则，即
，解得，故。
（2）若∠为直角，则，即=
，解得，故。
评析：当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离时，常利用焦半径公式把问题转化，此例就利用焦半径公式成功地求出
值。
9．（本小题满分12分）
如图，设Ｐ是圆x?y?25上的动点，点Ｄ是Ｐ在x轴上投影， Ｍ为PD上一点，且|MD|?224|PD|． 54的直线被C所截线段的长度． 5（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程； （2）求过点（3，0）且斜率为
圆锥曲线（一）
【分析】（1）动点M通过点P与已知圆相联系，所以把点P的坐标用点M的坐标表示，然后代入已知圆的方程即可；（2）直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系；结合两点的距离公式计算．
【解】（1）设点M的坐标是(x,y)，P的坐标是(xp,yp)， 因为点Ｄ是Ｐ在x轴上投影， Ｍ为PD上一点，且|MD|?2245|PD|，所以xp?x，且yp?y， 542x2y252∵P在圆x?y?25上，∴x?(y)?25，整理得??1，
25164x2y2即C的方程是??1．
2516（2）过点（3，0）且斜率为
44的直线方程是y?(x?3)，设此直线与C的交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)， 55x2y2x2(x?3)24??1得：??1，化简得x2?3x?8?0，∴将直线方程y?(x?3)代入C的方程
251625255x1?3?413?41，x2?，所以线段AB的长度是： 2216414141)(x1?x2)2??41?，即所截线段的长度是． 252555|AB|?(x1?x2)2?(y1?y2)2?(1?
圆锥曲线（一）
10．如图，在Rt?ABC中，?BAC?90,A(?2,1)、B(2,1),S?ABC?E(y?1)上运动，若曲线E过点C且满足PA?PB的值为常数。
（1） 求曲线E的方程；
y （2） 设直线l的斜率为1，若直线l与曲线E有两个不同的交点Q、R，求线段QR的中点M的轨迹方程。
C B A
O x 1222解析（1）?AB?22,S?ABC?AC?AB?2，?AC?1,又BC?AC?AB，从而
?2 平方单位，动点P在曲线
2BC?3,又?PA?PB?AC?BC?4?22，所以
点在以A、B为焦点，长半轴a?2，半焦距c?2，短半轴b?2的椭圆E(y?1)上，?曲线E的
x2(y?1)2??1(y?1). 方程为42（2）设直线l:y?x?m3y2?2(m?2)y?m2?2?0,令，代入E的方程，消
x，可以
得有
f(y)?3y2?2(m?2)y?m2?2,?方程f(y)?0有两个不1，小且于不相等所
????4(m?2)2?12(m2?2)?0,?2解之得3?m?1?6,设QR的中点为M(x,y),QR两点的坐标分?f(1)?m?2m?3?0,?m?2??1.?3圆锥曲线（一）
别为Q(x1,y1),R(x2,y2)，?y?y1?y2m?256，将m?3y?2代入y?x?m得??y?1??33231561)即为M点的轨迹方程。 y??x?1,所以y??x?1(?y?1?2332
6.（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
x22已知椭圆C:2?y?1（常数m?1），P是曲线C上的动点，M是曲线C上的右顶点，定点A的坐
m标为(2,0)
（1）若M与A重合，求曲线C的焦点坐标； （2）若m?3，求PA的最大值与最小值； （3）若PA的最小值为MA，求实数m的取值范围.
x2?y2?1，c?4?1?3 6、解：⑴ m?2，椭圆方程为4∴ 左、右焦点坐标为(?3,0),(3,0)。
x2?y2?1，设P(x,y)，则 ⑵ m?3，椭圆方程为9x2891|PA|?(x?2)?y?(x?2)?1??(x?)2?(?3?x?3)
99422222∴ x?29时|PA|min?； x??3时|PA|max?5。
24⑶ 设动点P(x,y)，则
x2m2?12m224m2|PA|?(x?2)?y?(x?2)?1??(x?2)?2?5(?m?x?m)
mm2m?1m?12222m2?12m2?0，∴ 2?m且m?1 ∵ 当x?m时，|PA|取最小值，且2mm?1解得1?m?1?2。
圆锥曲线（一）
x27． 一条双曲线?y2?1的左、右顶点分别为A1,A2，点P(x1,y1)，Q(x1,?y1)是双曲线上不同的两
2个动点。
（1）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程式；
（2）若过点H(0, h)（h>1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1?l2 ,求h的值。【解析】
[来源学科y2??12(x2?2)，即x22?y2?1。
（2）设l1:y?kx?h，则由l1?l2知，l2:y??1kx?h。 :y?kx?h代入x2将l12?y2?1得
x2?(kx?h)2?1，即(1?2k2)x2?4khx?2h22?2?0， 由l2221与E只有一个交点知，??16kh?4(1?2k)(2h2?2)?0，即
[来源学科网][来源学科网ZXXK]
1?2k2?h2。
同理，由l2与E只有一个交点知，1?2?1?h2，消去h2得1?k2，即k2k2k2?1，从而 h2?1?2k2?3，即h?3。
故
网]