三、模型假设
3.1折叠桌子的桌腿木条的开槽长度恰为钢筋相对于木条的滑距离；
3.2折叠桌子的受力结构合理，桌腿木条质量好，能够平稳放置于水平地面； 3.3桌腿木条至地面的距离为桌腿木条最低点至地面的铅垂高度； 3.4钢筋对折叠桌用材的影响认为很小，可以忽略不计； 3.5假设折叠桌放置在光滑的水平面上；
3.6假设构成折叠桌的木材密度是均匀分布的。
四、符号说明
4.1 符号说明 符号 ?R 含义 最外侧木条的水平倾斜角 桌面圆形半径 水平倾斜角为?时，第k根木条的开槽长度 水平倾斜角为?时，第k根木条y轴方向的坐标 水平倾斜角为?时，第k根木条z轴方向的坐标 第k根桌腿木条的长度 dk? y zk? l kk?最外侧木条与钢筋的交点至铰链的距离 r 折叠桌的桌高 h 4.2 名词解释
（1）钢筋位置：最外侧木条与钢筋的交点至最外侧木条中点的距离长度。
（2）中心三角形法则：当折叠桌两根最内侧桌腿木条的延长线与桌面连线形成以轴心为对称轴的等腰三角形时，最内侧的木条受到的内力最小，这样的规律称为重心三角形法则。
五、问题一模型的建立与求解
5.1 模型的建立
5.1.1桌角边缘线的动态模型
折叠桌在折叠过程中，两组桌腿木条形成分别形成两个相同的直纹曲面。目前，在指纹曲面的研究中，一般应用计算机给出造型效果图，并对曲面上的点进行分析，判断曲面的光顺性。这对于构造动态变化的直纹曲面较为困难。通过对折叠桌子的动态变化进一步研究，发现桌腿木条与桌面圆相接点（铰链处）的位置不变，而另一端点构成桌脚边缘线。由问题一的分析，利用连续化思想，我们建立桌角边缘线的数学模型：
如图5.1所示，建立空间直角坐标系。
图5.1折叠桌子示意图
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以图一中的yoz为投影平面进行投影，得到折叠桌子的桌腿木条折叠状态时的平面图（见图5.2）。
图5.2折叠桌子投影示意图
设B3(y?,0)为y轴上任意一点，B5(y0,z0)为钢筋的所处的位置，任意桌腿木条底端的位置为B4(y,z),B0B2为最外侧桌腿木条，?为最外侧桌腿木条与桌面的水平倾斜角，为给定的常数值。由此，木条长度为：
l l???y? （1）
2其中l为桌面圆形与桌腿木条相连处木块长度。
因为B3B5B4是同一根桌腿木条，所以在同一条直线上，利用欧拉距离公式，可以找到其与桌腿木条长度的关系。B3B5与B5B4在同一直线上，其斜率必定相等。由上述关系，可以列出一个方程组：
?(y??y)2?z2?l?2? ?y??y0y0?y （2）
?0?z?z?z00?
方程组（2）是一组隐函数方程，根据斜率与?的关系，可以转化为如下参数方程：
?y?f1(?,y?) ??z?f(?,y)?2对方程组（2）求解，进一步化简得到两组求解结果：
?b?y?f(?,y)???y??1?a第一组解：?
??z?f(?,y?)?(y?y)z02?y??y0?5
?b?y?f(?,y)??y??1?a第二组解：?
?(y?y)z0?z?f(?,y?)?2?y??y0?上式中：
z02 a?1?(y??y0)2l2b?ly???y?2
4因为选取的任意点是位于yoz轴的第三象限，第二组解的y坐标始终为正数，所以只能取两组解的第一组求解结果。
同时，将第一组解的第一个方程带入第二个方程得到：
(y??f1(?,y?))z0 z??y?y0所以，桌角边缘线的参数方程为：
?by???y???a ? （3）
?z?(y??y)z0?y??y0?由公式（3）可以看出，其与桌腿木条长度有关。 5.1.2折叠桌木条开槽长度计算
由于每根桌腿木条的长度不相等，钢筋始终是直线，所以每根桌腿木条的开槽长度也不相等，但都为固定值。所以可以通过折叠前后的坐标变化求得其开槽长度。如下图所示建立坐标图。
图5.3折叠桌子折叠示意图
如图5.3所示，设桌腿木条距离桌面圆心的水平距离为|OD|?x，折叠桌子的桌面圆形半径为R，A、B分别为桌腿木条开槽的终点和起点,则将桌腿开槽长度利用坐标来表示。根据圆的方程计算公式，可以得出：
CD=R2?x2 C点的坐标为：(x,?R2?x2,0)，B点的坐标为：(x,y0,z0)
折叠桌子处于平铺状态时，有如下关系： AB?AD?BD
BD?BC?CD
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当折叠桌子折叠一个角度时，由于桌腿木条的开槽长度始终不变，则腿木条的起点与铰链的距离在折叠桌子动态变化过程中固定不变。所以可以得知： AB?A?B?，BC?B?C
由B、C两点的坐标，利用空间距离公式，可以计算出BC的长度为：
BC=（y0?R2?x2)2?z02 根据上述关系，可以得到：BD=（y0?R2?x2)2?z02+R2?x2 题中给出钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，所以AD可以根据平板尺寸、
AB和CD之间的关系求出：
1lAD=(0?R2?x2)+R2?x2，同时根据AD与BD的距离关系，可以求得：
221l AB?(0?R2?x2)?（y0?R2?x2)2?z02?A?B? （4）
22式中：
l0为长方形平板的长度。
5.1.3桌腿木条长度计算
桌腿木条的由于和桌面圆相接，所以每根桌腿木条的长度是不相等的。为了更好的得出桌腿木条的计算公式，如图5.4所示，本文做如下定义：
图5.4 桌腿木条长度示意图
将木条分为两部分，在桌面虚拟圆内侧的木条称为内侧木条，第k根内侧木条的长度记为lk；在桌面虚拟圆外侧的木条称为外侧木条（即桌腿木条），第k根外侧木条的长度记为lk?。
设木条的宽度为w1，折叠后桌子的高度为h，桌面虚拟圆的直径为w。由勾股定理可以计算出lk的长度公式：
w?wkwlk?sin(arccos(2w1))
22从图5.4可以看出，桌腿木条的长度为折叠桌子长度的一半减去内侧木条的长度，则其计算公式为：
l lk??0?lk （5）
2从公式（3）（4）（5）可以看出，桌腿边缘线、折叠桌木条开槽长度、桌腿木条长度的确定都需要先求出桌面虚拟圆的半径。图5.5汇出了桌面虚拟圆的示意图。由于题中并未给出桌面虚拟圆的直径，所以需要对其进行讨论。
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图5.5 桌面虚拟圆示意图
假设桌面虚拟圆刚好处于图5.5的外边圈位置（大圆位置处），利用公式（5）计算发现，lk??49.1cm，折叠后底层桌面距离地面的高度为50cm（桌子的厚度为3cm）。根据三角不等式定义，在三角形中，必然有两边之和大于第三边。所以如果桌面虚拟圆位于外边圈位置即R1?25cm，折叠桌子的桌面高度与题目所给必然矛盾。
假设桌面虚拟圆的半径为图5.5的R2，则折叠桌子最外侧四根木条交织在一起，并没有与桌面虚拟圆连接在一起（如图5.6所示），所以桌面虚拟圆的半径不能取
R?22.5cm。所以桌面虚拟圆的半径的取值范围为:22.5cm?R?25cm,由图5.5可知，桌面圆取OB为半径较为合理。由图5.5中的几何关系可知：
212R?R12?(R1?w)?R2?23.82cm 2图5.6 桌面虚拟圆取R?22.5cm折叠桌子示意图
5.2 模型求解
根据5.1所建立的数学模型，运用公式（3）~（5）和题目所给的折叠桌子平板尺寸、木条宽度、折叠后桌子高度等设计参数，用计算机将折叠桌的动态过程进行仿真模拟，得到折叠桌的动态变化过程图。并可以求得折叠桌子桌腿木条的长度和桌腿木条的开槽长度两个加工参数。算法的流程图如图5.7。
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