6.1.3.3 约束条件说明
式（16）表示：木板长度的一半减去与桌腿木条相连木块的长度必须大于桌高的长度。即桌腿木条的长度和桌高必须满足三角不等式原则，才能保证折叠桌能够折叠。
式（17）表示：最外侧木条边缘点至桌面轴线的距离必须大于中间木条至桌面圆心的距离。目的是使得桌腿木条的投影面积大于桌面的投影面积，从而让折叠桌更加稳固。
式（18）表示：中间木条桌角边缘点的至轴心的距离要大于钢筋至轴心的距离，从而保证钢筋能够穿过所有木条。
式（19）表示：桌面虚拟圆的需要位于平板内切圆与外切圆之间。
式（20）表示：外侧桌腿木条至桌面的铅垂高度要大于内侧桌腿木条至桌面的铅垂高度，该约束是使得铅垂高度单调递增，从而保证折叠桌的稳定性。 6.2 模型的求解
由问题二模型的建立可以得知，折叠桌的最优设计参数需要先计算出平板长度、木条宽度和木条数量，而这些参数可以通过求解式（15）得知。
本文采用枚举法和分支定界法求解单目标优化模型，并通过比较结果的精度来获得更为合理的解。这两种算法的流程框图见图6.6。
开始开始输入R、h、T输入R、h、T计算l、w1、n范围计算l、w1、n范围生成l、w1、n值生成l、w1、n值l、w1、n是否在范围l、w1、n是否在范围是是否满足约束条件是否更新最优解否否是是否满足约束条件否否是更新最优解调整l、w1、n范围是否迭代完毕是输出最优解结束是否迭代完毕是输出最优解结束否图6.6 枚举法与分支定界算法流程框图
根据上述算法流程，利用MATLAB编写程序（具体程序见附录3），可以计算出桌高70cm，桌面直径80cm的折叠桌用两种算法求得的最优设计参数（见表6.1、表6.2、表6.3和附录4）。
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表6.1枚举法与分支定界法计算出最优设计参数的比较 平板长度(cm) 木条数 木条宽度(cm) 总用料(cm3) 平板尺寸(cm) 钢筋位置(cm) 用料最省的设计 枚举法 分支定界法 169.0 171.62 28 3.0 42588 40.871 32 2.5 41193.399 42.08 稳定性最优的设计 枚举法 分支定界法 184 185.5 18 4.5 44712 40.408 18 4.5 44575.65 40.554 169.0?84.0?3.0 171.62?80.01?3.00 184.0?81.0?3.0 185.50?80.01?3.00 表6.2 分支定界法用料最省木条开槽长度 单位：（cm） 1 木条编号 开槽长度 0.00 9 木条编号 开槽长度 23.44 17 木条编号 开槽长度 29.46 25 木条编号 开槽长度 21.56 2 4.20 10 25.06 18 29.34 26 19.40 3 7.88 11 26.42 19 28.98 27 16.96 4 11.21 12 27.52 20 28.37 28 14.23 5 14.23 13 28.37 21 27.52 29 11.21 6 16.96 14 28.98 22 26.42 30 7.88 7 19.40 15 29.34 23 25.06 31 4.20 8 21.56 16 29.46 24 23.44 32 0.00 分支定界法确定的最稳定设计的折叠桌的开槽长度和枚举法确定的折叠桌开槽长度，以及其他相关参数，由于版面关系，详细数据见附录4。
从表6.1和表6.2可以看出，用两种算法都可以得到两种设计方案，这两种方案的稳定性都可以满足折叠桌子平稳放置于地面，但是通过程序的计算，发现出现两种最佳方案。
导致出现两种方案的原因，是因为折叠桌的稳固性最好与用材最省之间存在效益背反原则，用料最少，折叠桌的稳固性必定下降；稳固性最好，折叠桌的用材必定会增加。图6.7可以很好的说明这个问题。
图 6.7 折叠桌的两种设计方案分析图
当最外侧桌腿木条在水平面投影形成的四边形刚好与桌面虚拟圆相切（桌面虚拟圆的圆心到边界线的垂直距离为L1）时，折叠桌刚好能够平稳放置在水平地面上，折叠桌的用料最省；
当桌面虚拟圆的圆心到边界线的垂直距离为L2时，折叠桌的稳固性最好。
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七、问题三的建模与求解
7.1 模型的建立
假定客户给出的折叠桌的高度为h，桌面边缘性的参数方程为
?x?r(?)cos???y?r(?)sin?
设木板长度为l，木条宽度w1，条数为n，如图所示，通过几何知识可得：
r(0)?w1?r(?1)cos(?1)l1'?y(?1)?r(?1)sin(?1)
r(0)?kw1?r(?k)cos(?k)
''?l...ln均可以求出 每个k均可以求出，所以1根据问题一中的模型，可得
?l'?r(?)sin(?)n/2n/2?n/2?l?l??l1'?12????arcsin(h)l1??
这些参数已知，该问题便转化成了问题二中的模型，根据问题二中模型的的算法，便可的得到平板桌面的长度、宽度、折叠桌的钢筋位置、每根开槽的开槽长度等最优设计加工参数、并且也可得到各桌腿的底端的坐标，设第k根桌腿底端的坐标为?xk,yk,zk?，根据客户所描述的桌腿边缘线的大致形状，可以估计出第k根桌腿底端的
'''xk,yk,zk??，木板宽度和木条数给定之后它们在X轴上的坐标是相等的，设
坐标为
''???((yk?yk)2?(zk?zk)2)i?1n
易知?越小，桌腿边缘线的形状越接近与客户所期望的形状，此时可以通过削减和增加每根木条的长度来控制?的大小，由于时间原因，我们暂且不对如何通过控制每根木条的长度来控制?的大小来建立具体的数学模型进行讨论。
为了使平板折叠桌能够很好的应用于实际生活中，在圆形桌面的基础上，我们总共给出三种不同的平板折叠桌，具体如下面平板折叠桌的简图：
图7.1 第一种折叠桌简图
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图7.2 第二种折叠桌简图
图7.3 第三种折叠桌简图
第一种即桌面边缘线为圆中嵌入一个长方形，可当做即日常用的会议桌。 第二种即桌面边缘线为椭圆，可当做家庭日常餐桌。 第三种即桌面边缘线为n正边形，这里以正六变形为例。
7.2 模型的求解
根据建立的数学模型，对客户任意设定的折叠桌高度、以及桌面边缘线的参数方程，即可求得三种平板折叠桌的最优设计加工参数。具体如下：
7.2.1第一种创意平板折叠桌的设计加工参数的求解
在给定圆的半径为40cm，嵌入长方形的长为40cm,折叠桌高度为40cm时，通过建立的数学模型，通过MATLAB编程计算得到其相应的设计加工参数（详见附录5）。
表7.1 第一种创意平板折叠桌的主要设计加工参数表 平板长度(cm) 木条数 木条宽度(cm) 总用料(cm3) 平板尺寸(cm) 钢筋位置(cm) 支撑角(rad) 设计加工参数 211.61 32 2.5 24680 211.61?80.02?3.00 40.871 1.2
第一种创意平板折叠桌的动态图如图7.4所示。 其他相关的设计加工参数见附录6。
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图7.4 第一种创意平板折叠桌动态示意图
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