开始初始化参数计算木条起始点桌面高度>50cm增加θ 计算钢筋位置计算桌脚坐标计算木条开槽长度计算桌腿木条长度输出图形与结果计算钢筋相对木条位置结束图5.7 问题一求解算法流程图
利用MATLAB软件进行计算机仿真模拟，得到问题一中给定设计参数的折叠桌在不同水平倾角?的动态变化过程（图5.8），动态图见附件中的问题一的文件。具体的仿真模拟程序见附录1。
动态变化过程1 动态变化过程2
动态变化过程3 动态变化过程4
图5.8 折叠桌变化过程图
通过建立的数学模型（式4）和所给数据，按照图5.7所示流程，运用MATLAB软件求解得到折叠桌一组木条的开槽长度（见表5.1）和木条长度（见表5.2），另一组由于对称，所以不重复列出。（具体计算程序见附录1）
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表5.1 桌腿木条的开槽长度 单位（cm） 木条编号 开槽长度 木条编号 开槽长度 木条编号 开槽长度 木条编号 开槽长度 1 0.00 6 13.59 11 16.43 16 11.95 2 4.18 7 14.85 12 16.26 17 9.87 3 7.32 8 15.73 13 15.73 18 7.32 4 9.87 9 16.26 14 14.85 19 4.18 5 11.95 10 16.43 15 13.59 20 0.00 表5.2 桌腿木条长度单位 单位（cm） 木条编号 木条长度 木条编号 木条长度 木条编号 木条长度 木条编号 木条长度 1 52.19 6 38.39 11 36.18 16 39.73 2 47.07 7 37.40 12 36.32 17 41.50 3 43.85 8 36.72 13 36.72 18 43.85 4 41.50 9 36.32 14 37.40 19 47.07 5 39.73 10 36.18 15 38.39 20 52.19 六、问题二模型的建立与求解
6.1 模型的建立
6.1.1 钢筋位置的确定
由问题二分析可知，钢筋位置的确定是解决本问题的关键环节之一。由于钢筋的位置影响着折叠桌子的稳固性，因此，有必要先对平稳放置于桌面上的折叠桌子的受力情况进行分析。桌子放置在桌面上时，桌腿木条的受力分析主要分为以下两种情况：
（1）内侧任意木条受力分析。内侧木条与桌面铰链和钢筋相接，只有两端受力，是一根典型的二力杆。根据力学基本原理，二力杆受力有如下性质：
i.杆件两端所受的力与杆件平行；
ii．杆件两端所受的力大小相等，方向相反。 其受力情况如图6.1所示。
图6.1 内侧任意木条受力示意图
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由以上分析可知：内侧木条在A、B端受到的力相加为0，即FAB?FBA?0。
（2）外侧桌腿木条受力分析。如下图5.2所示，外侧桌腿木条总共受到5个力的作用，
在x轴方向，FBx?FCx?0；在y轴方向，FA?FCy?FBy?0，所以外侧木条在A、B、
C三点所受的合力也为0。
图6.2 外侧桌腿木条受力示意图
为了更加清楚分析其受力情况，将折叠桌子的三维示意图6.3绘制出来。将所有内
n??侧杆件的合力加起来，可得F????FBAi。由力学知识可知：只有当杆件DE与对边相
i?1对杆件的延长线相交于一点O?,即DO与两杆件形成一个以轴心为对称轴的等腰三角形，那么杆件DE与对边相对杆件在O?的合力偶距为0。此时，杆件DE受到的内力最小。本文将这个规律称为中心三角形法则。
图6.3 折叠桌中心三角形示意图
问题二的桌高与桌面直径虽然不确定，但能够确定的是其为需要给定的参数。依照问题一的离散问题连续化处理思想，我们可以如图6.4所示建立以yoz为投影面的直角坐标系。
图6.4 折叠桌yoz平面投影示意图
由问题二分析可知，本文利用问题一求解桌脚边缘线的方法，对问题二的设计参数
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进行模型构建。
设平板长为l，木条宽度为w1，木条数量为n，并且桌面圆半径为R，桌高为h。其中R、h为已知值。
根据中心三角形法则，和几何知识可得到如下关系：
nR?wR?w112l1???Rsin(arccos())，ln??Rsin(arccos())
RR2lhl1??l1?，??arcsin()
2l1则，B点的坐标根据桌面半径R和桌高h与B点的空间几何关系，可以确定出：
??y??l1??l1cos? ?1 （6）
??z1??h由于D点与桌面圆相接，所以根据空间几何关系，可得出D点空间坐标为：
n??y4??l1? ?2 （7）
??z4?0根据直线DC的欧氏距离公式和斜率公式，由式（6）、（7）联立方程组：
2l?(y2?y4)2?(z2?z4)2?(2?l?n)2? ?y4 （8） y2??hz?h?2求解式（8），并化简可得：
y4z2?y??1?2h? ?222 （9） ?y?(4lh)(1?l)?(hl)?yn44?2z2??2h?因为A、B两点坐标已经求出，所以直线AB的方程可以求出。因为E点为直线AB和直线CD的交点，所以E点的坐标通过联立方程组：
z2?z?(y?y4)?y2?y4? ? （10）
z?z?1(y?l?)1?y1?l1??求解式（10），并化简可得：
l?z1(y2?y4)?y4z2(l??y1)?y??3z2(l??y1)?z1(y2?y4)? ? （11）
?z(lz?yz)2141?z?3???2(l?y1)?z1(y2?y4)由A、E两点坐标，可以计算得出线段AE的长度r：
r?(y3?l1?)2?z32 （12） 此时，已经确定出钢筋的位置，即E点的坐标。
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6.1.2 木条开槽长度的计算
因为桌角边缘点到桌面的距离 (从外侧桌腿木条到中心内侧木条)为单调递增时，折叠桌才能保持其稳固性。由问题一求解过程可知，桌腿木条开槽长度的确定需要确定出桌角边缘线的方程。将E点的坐标带入方程组（3）可得：
?by???y???a ? （13）
??z?(y?y)z3?y??y3?其中：
z32 a?1?2?(y?y3)l2b?ly???y?2
4和问题一的求解过程类似，折叠桌的开槽长度为：
1l AB?(?R2?x2)?（y0?R2?x2)2?z02 （14）
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6.1.3 单目标优化模型
由上述分析可知，所有要给出的最优加工参数都转化为求解平板长度l，木条宽度w1和木条数量n。综合考虑产品稳固性能、加工难易程度和用材多少，由问题二的分析，本文建立如下单目标函数，确定出平板的尺寸参数。
目标函数： minV?lw1nT （15） 约束条件：
?l?l??h(16)?21?y1?y4(17)? ?y2?y3 (18)
?2R?2w?nw?2R(19)11???hk???h?hk(20)（其中：k?1，2,3?n12）?6.1.3.1 符号说明
V:平板的体积； T:木条的厚度；
n：n表示如图5.1所示，从x正半轴最外侧木条开始编号，起始编号为1； hk?：表示第k根桌腿木条边缘点至桌面的铅垂高度；
hk?1?：表示第k?1根桌腿木条边缘点至桌面的铅垂高度。
6.1.3.2 目标函数说明
式（15）为单目标约束函数，表示：桌子体积最小情况下，求出平板的长度、木条的宽度、木条的宽度和木条的数量。
其中木条的厚度通过查阅相关文献和该折叠桌的设计理念，为了便于携带和木条承受力度的考虑，本文取T?3cm。
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