高等数学复习公式
④、?◤?和?◢?：副对角元素的乘积??(?1)⑤、拉普拉斯展开式：
n(n?1)2；
AOACCAOA??AB、??(?1)mnAB CBOBBOBC⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；
6. 对于n阶行列式A，恒有：?E?A????(?1)kSk?n?k，其中Sk为k阶主子式；
nk?1n7. 证明A?0的方法：
①、A??A； ②、反证法；
③、构造齐次方程组Ax?0，证明其有非零解； ④、利用秩，证明r(A)?n； ⑤、证明0是其特征值；
2、矩阵
1.
A是n阶可逆矩阵：
?A?0（是非奇异矩阵）；
?r(A)?n（是满秩矩阵） ?A的行（列）向量组线性无关；
?齐次方程组Ax?0有非零解； ??b?Rn，Ax?b总有唯一解；
?A与E等价；
?A可表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A的特征值全不为0；
?ATA是正定矩阵；
?A的行（列）向量组是Rn的一组基； ?A是Rn中某两组基的过渡矩阵；
2. 对于n阶矩阵A：AA*?A*A?AE 无条件恒成立； 3.
(A?1)*?(A*)?1(A?1)T?(AT)?1(A*)T?(AT)*
(AB)T?BTAT(AB)*?B*A*(AB)?1?B?1A?1
4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：
?A1?若A?????A2???，则： ??As?Ⅰ、A?A1A2As；
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?A1?1?Ⅱ、A?1???????1?1A2???； ??As?1??O??；（主对角分块） B?1?B?1??；（副对角分块） O??A?1CB?1??；（拉普拉斯） B?1??A?1?AO?②、?????OB??O?O?OA?③、????1??BO??A?A?1?AC?④、?????OB??O?1?1?1?A?1?AO?⑤、?????1?1?CB???BCAO?；（拉普拉斯） ?1?B?3、矩阵的初等变换与线性方程组
1. 一个m?n矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F??r?O?EO??； O?m?n等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A、B，若r(A)?r(B)?????AB； 2. 行最简形矩阵：
①、只能通过初等行变换获得；
②、每行首个非0元素必须为1；
③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；
3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）
①、 若(A?,?E)??(E?,?X)，则A可逆，且X?A?1；
②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A?1B，即：(A,B)???(E,A?1B)；
③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax?b，如果(A,b)(E,x)，则A可逆，且x?A?1b； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：
①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；
??1?②、??????rrc?2???，左乘矩阵A，?乘A的各行元素；右乘，?乘A的各列元素；
ii???n??11?1????????1③、对调两行或两列，符号E(i,j)，且E(i,j)?1?E(i,j)，例如：?1???；
??1?1?????第 17 页 共 34 页
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?1?1?1??11???1④、倍乘某行或某列，符号E(i(k))，且E(i(k))?E(i())，例如：?k????kk??1?????1???(k?0)； ?1??k??k??1?1????⑤、倍加某行或某列，符号E(ij(k)),且E(ij(k))?1?E(ij(?k))，如：?1?1???(k?0)；
??1?1?????5. 矩阵秩的基本性质：
①、0?r(Am?n)?min(m,n)；
②、r(AT)?r(A)；
③、若AB，则r(A)?r(B)；
④、若P、Q可逆，则r(A)?r(PA)?r(AQ)?r(PAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max(r(A),r(B))?r(A,B)?r(A)?r(B)；（※） ⑥、r(A?B)?r(A)?r(B)；（※） ⑦、r(AB)?min(r(A),r(B))；（※）
⑧、如果A是m?n矩阵，B是n?s矩阵，且AB?0，则：（※）
Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX?0解（转置运算后的结论）； Ⅱ、r(A)?r(B)?n
⑨、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)?r(A)?r(B)?n；
6. 三种特殊矩阵的方幂：
①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）?行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；
?1ac???②、型如?01b?的矩阵：利用二项展开式；
?001???
二项展开式：(a?b)?Ca?Cab?注：Ⅰ、(a?b)n展开后有n?1项；
n(n?1)(n?m?1)n!?123mm!(n?m)!n0nn1nn?11?Camnn?mmb??Cn?11n?1nabmmn?m?Cb??Cnab； nnnm?0nⅡ、Cnm?0nCn?Cn?1
mn?mⅢ、组合的性质：Cn?CnCmn?1?C?Cmnm?1n ?Cr?0nrn?2nrr?1； rCn?nCn?1③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：
?n?①、伴随矩阵的秩：r(A)??1?0?*r(A)?n?????r(A)?n?1； r(A)?n?1②、伴随矩阵的特征值：③、A*?AA?1、A*?AA???(AX??X,A*?AA?1???A*X?A?X)；
n?1
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8. 关于A矩阵秩的描述：
①、r(A)?n，A中有n阶子式不为0，n?1阶子式全部为0；（两句话）
②、r(A)?n，A中有n阶子式全部为0； ③、r(A)?n，A中有n阶子式不为0；
9. 线性方程组：Ax?b，其中A为m?n矩阵，则：
①、m与方程的个数相同，即方程组Ax?b有m个方程；
②、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax?b为n元方程； 10. 线性方程组Ax?b的求解：
①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；
②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；
11. 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：
?a11x1?a12x2??a1nxn?b1????ax?ax??ax?b????2nn2①、?211222；
???am1x1?am2x2??anmxn?bn?a11?a②、?21???am1a12a22am2a1n??x1??b1??????a2n??x2??b2? ??Ax?b（向量方程，A为m?n矩阵，m个方程，n个未知数）
??????????amn??xm??bm??x1??b1?????x2?b?an???（全部按列分块，其中???2?）； ????????x?n??bn??anxn??（线性表出）
③、?a1a2④、a1x1?a2x2?⑤、有解的充要条件：r(A)?r(A,?)?n（n为未知数的个数或维数）
4、向量组的线性相关性
1.
m个n维列向量所组成的向量组A：?1,?2,,?m构成n?m矩阵A?(?1,?2,,?m)；
T,m个n维行向量所组成的向量组B：?1T,?2??1T??T??T,?m构成m?n矩阵B??2?；
?????T???m?含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；
2. ①、向量组的线性相关、无关 ?Ax?0有、无非零解；（齐次线性方程组）
②、向量的线性表出 ?Ax?b是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 ?AX?B是否有解；（矩阵方程）
3. 矩阵Am?n与Bl?n行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax?0和Bx?0同解；(P101例14) 4.
r(ATA)?r(A)；(P101例15)
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5.
n维向量线性相关的几何意义： ①、?线性相关 ???0；
②、?,?线性相关 ??,?坐标成比例或共线（平行）；
③、?,?,?线性相关 ??,?,?共面； 6. 线性相关与无关的两套定理： 若?1,?2,,?s线性相关，则?1,?2,若?1,?2,,?s线性无关，则?1,?2,,?s,?s?1必线性相关；
,?s?1必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）
若r维向量组A的每个向量上添上n?r个分量，构成n维向量组B：
若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；
7. 向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则r?s(二版P74定理7)；
向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)?r(B)；（P86定理3） 向量组A能由向量组B线性表示
?AX?B有解；
?r(A)?r(A,B)（P85定理2）
向量组A能由向量组B等价??r(A)?r(B)?r(A,B)（P85定理2推论）
,Pl，使A?P1P2Pl；
8. 方阵A可逆?存在有限个初等矩阵P1,P2,r①、矩阵行等价：A~B?PA?B（左乘，P可逆）?Ax?0与Bx?0同解 ②、矩阵列等价：A~B?AQ?B（右乘，Q可逆）； ③、矩阵等价：A~B?PAQ?B（P、Q可逆）； 9. 对于矩阵Am?n与Bl?n：
①、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；
②、若A与B行等价，则Ax?0与Bx?0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；
③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A的行秩等于列秩； 10. 若Am?sBs?n?Cm?n，则：
①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；
②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵；（转置）
11. 齐次方程组Bx?0的解一定是ABx?0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；
①、ABx?0 只有零解???Bx?0只有零解；
②、Bx?0 有非零解???ABx?0一定存在非零解； 12. 设向量组Bn?r:b1,b2,
,br可由向量组An?s:a1,a2,(b1,b2,,br)?(a1,a2,,as线性表示为：（P110题19结论） ,as)K（B?AK）
c其中K为s?r，且A线性无关，则B组线性无关?r(K)?r；（B与K的列向量组具有相同线性相
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