高等数学复习公式
关性）
（必要性：r?r(B)?r(AK)?r(K),r(K)?r,?r(K)?r；充分性：反证法）
注：当r?s时，K为方阵，可当作定理使用；
13. ①、对矩阵Am?n，存在Qn?m，AQ?Em ?r(A)?m、Q的列向量线性无关；（P87） ②、对矩阵Am?n，存在Pn?m，PA?En ?r(A)?n、P的行向量线性无关； 14. ?1,?2,,?s线性相关
?存在一组不全为0的数k1,k2,,ks，使得k1?1?k2?2??ks?s?0成立；（定义）
??x1??(?1,?2,,?)?x?2s???0有非零解，即Ax?0有非零解；
???x?s??r(?1,?2,,?s)?s，系数矩阵的秩小于未知数的个数；
15. 设m?n的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组Ax?0的解集S的秩为：r(S)?n?r； 16. 若?*为Ax?b的一个解，?1,?2,,?n?r为Ax?0的一个基础解系，则?*,?1,?2,,?n?r线性无关；题33结论）
5、相似矩阵和二次型
1. 正交矩阵?ATA?E或A?1?AT（定义），性质：
①、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aT1i?jiaj???
?0i?j(i,j?1,2,n)；②、若A为正交矩阵，则A?1?AT也为正交阵，且A??1； ③、若A、B正交阵，则AB也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：(a1,a2,,ar)
b1?a1；
b2?ab1,a2]2?[[b]b1 1,b1
b[b1,ar]b[b2,ar][br?1,ar]r?ar?[b1?[bb2??1,b1]2,b2][bbr?1;
r?1,br?1]3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；
对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、A与B等价 ?A经过初等变换得到B；
?PAQ?B，P、Q可逆； ?r(A)?r(B)，A、B同型；
②、A与B合同 ?CTAC?B，其中可逆；
?xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数； ③、A与B相似 ?P?1AP?B； 5. 相似一定合同、合同未必相似；
若C为正交矩阵，则CTAC?B?AB，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；第 21 页 共 34 页
P111（
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6. 7.
A为对称阵，则A为二次型矩阵；
Tn元二次型xAx为正定： ?A的正惯性指数为n；
?A与E合同，即存在可逆矩阵C，使CTAC?E； ?A的所有特征值均为正数； ?A的各阶顺序主子式均大于0； ?aii?0,A?0；(必要条件)
高中数学基本公式手册
第一章：集合与函数 1.德摩根公式 CU(A2.AB)?CUACUB;CU(AB)?CUACUB.
B?A?AB?B?A?B?CUB?CUA?ACUB???CUAB?R
3.card(AB)?cardA?cardB?card(AB)
card(ABC)?cardA?cardB?cardC?card(AB)
?card(AB)?card(BC)?card(CA)?card(ABC).
4.二次函数的解析式的三种形式 ①一般式f(x)?ax2?bx?c(a?0);② 顶点式
f(x)?a(x?h)2?k(a?0);③零点式f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0).
5.设x1?x2??a,b?,x1?x2那么
(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是增函数；
x1?x2f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是减函数.
x1?x2设函数y?f(x)在某个区间内可导，如果f?(x)?0，则f(x)为增函数；如果f?(x)?0，则f(x)为减函数.
6.函数y?f(x)的图象的对称性:①函数y?f(x)的图象关于直线
x?a对称
a?b对称2②函数y?f(x)的图象关于直线x??f(a?x)?f(a??)xf(2a?x)?f(.x. ?f(a?m)x?f(b?m?)xf(a?b?m)x?(fm)x7.两个函数图象的对称性:①函数y?f(x)与函数y?f(?x)的图象关于直线x?0(即y轴)对称.②函数
a?b?1y?f(mx?a)与函数y?f(b?mx)的图象关于直线x?对称.③函数y?f(x)和y?f(x)的
2m图象关于直线y=x对称. 8.分数指数幂 amn?1nam（a?0,m,n?N，且n?1）.
??a?mn?1amn（a?0,m,n?N，且n?1）.
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9. logaN?b?ab?N(a?0,a?1,N?0). 10.对数的换底公式 logaN?nlogmNn.推论 logamb?logab.
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第二章：不等式 30.常用不等式： 22（1）a,b?R?a?b?2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)． ?a?b?（2）a,b?R?ab(当且仅当a＝b时取“=”号)． 2333a?b?c?3abc(a?0,b?0,c?0). （3）22222(a?b)(c?d)?(ac?bd),a,b,c,d?R. （4）柯西不等式（5）a?b?a?b?a?b 31.极值定理 已知x,y都是正数，则有 2px?y（1）如果积xy是定值p，那么当x?y时和有最小值（2）如果和x?ya4ax2?bx?c?0(或?0)(a?0,??b2?4ac?0)a2元二次不等式32.一，如果ax?bx?cax2?bx?c同号，则其解集在两根之外；如果与简言之：同号两根之外，异号两根之间x1间?.x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2). 12是定值，那么当x?y时积xy有最大值s. s； 与异号，则其解集在两根之x?x1,或x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?；x 2). 33.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有 x?a?x2?a??a?x?a. x?a?x2?a2?x?a或2x??a34.无理不等式（1）. ?f(x)?0?f(x)?g(x)??g(x)?0?f(x)?g(x) . ?（2）?f(x)?0?f(x)?0?f(x)?g(x)??g(x)?0或??f(x)?[g(x)]2?g(x)?0. ??f(x)?0?f(x)?g(x)??g(x)?0?f(x)?[g(x)]2. ?（3）a?1时, x)35.af(指数不等式与对数不等式?ag(x)?f(x)?g(x) (1)当0?a?1a当?a(2)f(x)g(x)?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)??g(x)?0; ?f(x)?g(x). ??f(x)?0?logaf(x)?logag(x)??g(x)?0?f(x)?g(x) ;?
?(x)?g(x)时f,
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第三章：数列 11.an??n?1?s1,( 数列{an}的前n项的和为sn?a1?a2??sn?sn?1,n?2?an).
12.等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*)；
n(a1?an)n(n?1)d1?na1?d?n2?(a1?d)n. 2222ann?1*13.等比数列的通项公式an?a1q?1?q(n?N)；
q其前n项和公式 sn??a1(1?qn)?a1?anq,q?1,q?1??其前n项的和公式sn??1?q或sn??1?q.
?na,q?1?na,q?1?1?114.等比差数列?an?:an?1?qan?d,a1?b(q?0)的通项公式为
?b?(n?1)d,q?1?an??bqn?(d?b)qn?1?d；
,q?1?q?1??nb?n(n?1)d,q?1?其前n项和公式为sn??. d1?qnd?(b?1?q)q?1?1?qn,q?1?ab(1?b)n15.分期付款(按揭贷款) 每次还款x?元(贷款a元,n次还清,每期利率为b). n(1?b)?1第四章：三角
2216.同角三角函数的基本关系式 sin??cos??1，tan?=
sin?，tan??cot??1. cos?17.正弦、余弦的诱导公式
n?n??(?1)2sin?,sin(??)?? n?12?(?1)2cos?,?n?n??(?1)2cos?,??)?? cos( n?12?(?1)2sin?,?α为偶数 α为奇数 α为偶数 α为奇数 18.和角与差角公式
sin(???)?sin?cos??cos?sin?; cos(???)?cos?cos?sin?sin?;
tan??tan?tan(???)?.
1tan?tan?sin(???)sin(???)?sin2??sin2?(平方正弦公式);
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