恰好为AB的中点，问在图中还需添加什么条件? (1)写出两个满足边的条件； (2)写出两个满足角的条件； (3)写出一个满足除边、角以外的其他条件． 9．(10分)在一次数学竞赛中，组委会决定用NS公司赞助的款购买一批奖品，若以1台NS计算器和3本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买100份奖品；若以1台NS计算器和5本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买80份奖品，问这笔钱全部用来购买计算器或《数学竞赛讲座》书，可各买多少? 10．(15分)如右图，OB是以(O，a)为圆心，a为半径的⊙O1的弦，过︵B点作⊙O1的切线，P为劣弧OB上的任一点，且过P作OB、AB、OA的垂线，垂足分别是D、E、F．(1)求证：PD=PE·PF；(2)当∠BOP=30°，P点为OB的中点时，求D、E、F、P四个点的坐标及S△DEF． 11．(10分)若a，b，c，d>0，证明：在方程 2 中，至少有两个方程有两个不相等的实数根． 12．(15分)有麦田5块，如图中的A、B、C、D、E，它们的产量(单位：吨)、交通状况和每相邻两块麦田的距离如图所示，要建一座永久性打麦场，这5块麦田生产的麦子都在此打场．问建在哪块麦田上(不允许建在除麦田以外的其他地方)才能使总运输量最小?图中圆圈内的数字为产量，直线段上的字母a、b、d表示距离，b0,∴ＣＤ=5ｍ,ＡＣ=13ｍ.∵ｔgＢ= 13ＡＣ??222ＣＤ CD5 =2,可设ｎ>0,ＣＤ=2ｎ,ＢＤ=ｎ,∴ＢＤ=ｎ= = ｍ.∴ＡＤ=(13ｍ)2-(5ｍ)2 22ＢＤ=12ｍ.从而得ＡＢ=ＡＤ+ＢＤ=12ｍ+52ｍ=292ｍ.由29=292ｍ,得ｍ=2.则ＣＤ=5ｍ=10.故11Ｓ△ＡＢＣ= ＡＢ·ＣＤ= ×29×10=145 (ｃｍ2). 22二、7.(1)对于自然数ｎ,有ｎ(ｎ+1)(ｎ+2)(ｎ+3)+1=(ｎ2+3ｎ)(ｎ2+3ｎ+2)+1=(ｎ2+3ｎ)2+2(ｎ2+3ｎ)+1=(ｎ2+3ｎ+1)2. (2)由(1)得2000×2001×2002×2003+1=40060012. 8.要使Ｄ为ＡＢ的中点,可添加下列条件之一: 角的关系:(1)∠Ａ=∠ＤＢＥ; (2)∠Ａ=∠ＣＢＥ;(3)∠ＤＥＡ=∠ＤＥＢ;(4)∠ＤＥＡ=∠ＢＥＣ;(5)∠Ａ=30°;(6)∠ＣＢＤ=60°;(7)∠ＣＥＤ=120°;(8)∠ＡＥＤ=60°. 边的关系:(1)ＡＢ=2ＢＣ;(2)ＡＣ=3 ＢＣ;(3)2ＡＣ=3 ＡＢ;(4)ＢＥ=ＡＥ.三角形的关系:△ＢＥＣ≌△ＡＥＤ. 9.设每台计算器ｘ元,每本《数学竞赛讲座》书ｙ元,这笔钱为ｓ元.则有100(ｘ+3ｙ)=ｓ=80(ｘ+5ｙ).化简得ｘ=5ｙ.解得ｓ=800ｙ.则这笔款可买《数学竞赛讲座》800本.又∵ｙ=x,∴ｓ=160ｘ.则这笔款可买计算器160台. 510.(1)提示:连结ＥＤ、ＤＦ,证△ＦＤＰ∽△ＤＥＰ;(2)Ｄ(－3 3 ａ, ａ),Ｅ(－ 44ａ33 33 3 33 ａ, ａ,Ｆ(－ ａ,0),Ｐ(－ ａ, ),Ｓ△ＤＥＦ= ａ2. 442221611.写出这四个方程的判别式Δ1、Δ2、Δ3、Δ4.注意到Δ1+Δ3>0,Δ2+Δ4>0,故Δ1、Δ2、Δ3、Δ4中至少有两个大于零,即所得四个方程中至少有两个方程有不相等的实数根. 12.设在ｘ处的最少运输量为Ｓ(ｘ).据三角形三边长度关系,有ａ+ｂ>ｄ.于是,Ｓ(Ａ)=3ａ+5(ａ+ｂ)+4(ａ+ｄ)+6ａ=18ａ+5ｂ+4ｄ;Ｓ(Ｂ)=10ａ+3ｂ+4ｄ;Ｓ(Ｃ)=18ａ+13ｄ;Ｓ(Ｄ)=14ａ+13ｂ;Ｓ(Ｅ)=26ａ+6ｂ; 经比较知min{S(A)，S(B)，S(C)，S(D)，S(E)}= S(B)，B处为最佳选择．方法2：首先考虑将麦场设在_A点，则由各点按最近路线运至A点的原则，如右图所示，图中所有线段的箭头表示运输方向，边上的数字表示经过该段的麦量．用同样的方法，分别作出其他方案，下面的四图分别是麦场设在B、C、D,E四点的情况． 考查A点方案，BA的麦量为15，超过了总麦量M=3+7+6+5+4=25的一半，那么设在A点显然没有设在B点好，因为从B点运到A点的运输量是15a，而如果设在B点，并且假设除去AB线段以外，其他线段上的运输方向和运输量都不变的话，那么从A点运向B点的运输量就是(3+7) a=(M-15)a，因15超过了M的一半，所以15> M-15，可见当其他运输路线不变时，只改变A、B两点的运向，就已经优于设在A点的方案了，何况若将其他点的麦量改到B点，还可能有更短的运输路线，因此，设在B点的方案就更优于设在A点的方案了． 同理考查C点、D点、E点方案，从各条线路运向 C、D、E的最大运输麦量分别为13，13，15，都超过了M的一半，因此都不是最佳点，只有B点有可能是最佳选择，而最佳点总是存在的，故可断定设在B点为最佳选择． 湖北省黄冈市初中数学竞赛试题 一、选择题(本题共5小题，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均得零分) 1．若4x-3y-6z=O，x+2y-7z=O，则代数式A.-的值等于 ( ) 119 B. ? c.-15 D.-13 222．如右图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠ABC内，设点P到BC、CA、AB三边的距离分别为h1、h2、h3，且满足h2+h3-h1=6，那么等边△ABC的面积为 ( ) A 123 B 93 C 83 D. 43 3．在本埠投寄平信，每封信不超过20g时付邮费O．80元，超过20g而不超过40g付邮费1．60元，依次类推，每增加20g须增加邮费0．80元(信的质量在100g以内)．如果某人所寄一封信的质量为72．5g，那么他应付邮费 ( ) A．2.4元 B．2．8元 C．3元 D．3．2元 4．四条线段的长分别为9，5，x，1(其中x为正实数)，用它们拼成两个相似的直角三角形，且AB与CD是其中的两条线段(如图)，则x可取值的个数为 ( ) A 1个 B．3个 C 6个 D．9个 5．若x、y、z是正实数，且满足xyz=1，则代数式(x+1)(y+1)(z+1)的最小值是 ( ) A.64 B. 8 C 82 D. 2 二、填空题(本题共5小题，每小题填对得4分，共20分) 6．当x=3 -2 时，代数式x-9x+2 x+1的值是 427．如图，正方形ABCD的面积为256，点F在AD上，点E在AB的延长线上，直角△CFF的面积为200．则BE ． 2228．已知整数a、b、c满足不等式a+b+c+42≤ab+9b+8c，则a、b、c分别等于 ． 9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AD是BC边上的中线，CE上AD于E．CE的延长线交AB于F，则tan∠BAD的值等于 ． 10．若三个方程x-4x+2a-3=O，x-6x+3a+12 =0，x+3x-a+数根，则实数a的取值范围是 ． 三、解答题 11．(8分)当a取何值时，方程22225=0中至少有一个方程有实4x?12?x2x?a??2有负数解 x?2x?1x?x?212．(12分)已知正方形ABCD的边长为10cm,一动点P从点A出发，以2cm／秒的速度沿正方形的边逆时针作匀速运动，如图所示，回到A点停止．求动点P运动t秒时，P、D两点间的距离． 13．(12分)已知：如右图，AB是 ⊙O的直径，BC是⊙O的切线，B是切点，OC平行于弦AD，连结CD，过D点作DE⊥AB于E，交A与C的连线于点P．问DP与PE是否相等，如果相等给出证明；如果不相等，说明理由． 14．(14分)如图所示，在平面直角坐标系中，以y轴上的点P为圆心的OP与x轴交于A、B两点，与y轴交于C．D两点，连结AC． 2 (1)若点E在AB上，EA=EC,求证：AC=AE·AB； (2)若∠BPO=60°，AC=83，过点A的直线交y轴正半轴于点3M(O，8)，点R(x1，y1)，Q(x2，y2)在直线y=kx(k>0)上，且x1、x22是方程x-(k+2)x+4=O的两根；直线AM与直线y=kx交于点N，分别过P、Q,N作x轴的垂线，垂足分别为R’、Q'、N'．请找出OR'，OQ'，ON'之间的关系式，并加以证明． 15．(14分)如图是几个人出差从A城出发到B城去沿途可能经过的城市的示意图，通过两城市所需时间标在两城市之间的连线上(单位：小时)，若这几个人租用一辆小汽车出行，且汽车行驶的平均速度为80千米／小时，而汽车平均每行驶1千米需要的费用为1．2元．试指，出这几个人从A城出发到达B城的最短路线的走法(要有推理过程)，并求出所需最少费用为多少? 湖北省黄冈市初中数学竞赛