|t?3|3?4时，即?1?t?5时，|PQ|min?f(t?3)?当1?t?， 2223当t?2?4，即t?5时，，即t??1时，
f(x)在[1,4]上单调递减，∴|PQ|min?f(4)?f(x)在[1,4]上单调递增，|PQ|min?f(1)?(t?4)?1(t?1)22；
3当t?2?1?4 ?2(t?1)?4t??1;??|t?3|综上所述，h(t)??2?1?t?5;?2(t?4)?1t?5.??
(解法二) 过A、B两点分别作线段AB的垂线，交x轴于A'(?1,0)、B'(5,0)， 当点P在线段AB'上，即?1?t?5时，由点到直线的距离公式得：|PQ|min?|PA|?|min?|PB|?|min?|t?3|2；
当点P的点在点A'的左边，t??1时，|PQ当点P的点在点A'的右边，t?5(t?1)?4(t?4)?122； 时，|PQ
?2(t?1)?4t??1;?|t?3|综上所述，h(t)???1?t?5;?2?2(t?4)?1t?5.??6.本小题主要考查直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合应用能力，满分12分.
22解：（Ⅰ）将直线l的方程y?kx?1代入双曲线C的方程2x?y?1后,整理得
(k2?2)x?2kx?2?0.……①
2依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故
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?k2?2?0,?22??(2k)?8(k?2)?0,??2k???02?k?2?2?0.?2?k?2解得k的取值范围是?2?k??2.
（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，则由①式得
2k?x?x?,122??2?k……② ?2?x?x?.222?k?2?假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0）. 则由FA⊥FB得：
(x1?c)(x2?c)?y1y2?0.
即(x1?c)(x2?c)?(kx1?1)(kx2?1)?0.整理得
(k2?1)x1x2?(k?c)(x1?x2)?c?1?0.……③
2把②式及c?5k262代入③式化简得
?26k?6?0.
解得k??可知k??6?56?566或k?6?56?(?2,?2)(舍去)
使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.
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11.解: (Ⅰ)由条件得直线AP的方程y?k(x?1),
即kx?y?k?0.
因为点M到直线AP的距离为1,
∵mk?kk?12?1, k2即m?1?33?1k,3],
?1?1k2.
∵k?[∴
2333?m?1?2,
解得
23+1≤m≤3或--1≤m≤1--2332233.
,3].
∴m的取值范围是[?1,1?]?[1?22233(Ⅱ)可设双曲线方程为x?由M(2?1,0),A(1,0), 得AM?此，kAP2.
yb?1(b?0),
又因为M是ΔAPQ的内心,M到AP的距离为1,所以∠MAP=45o,直线AM是∠PAQ的角平分线,且M到AQ、PQ的距离均为1因?1,kAQ??1（不妨设P在第一象限）
直线PQ方程为x?2?2 直线AP的方程y=x-1,
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∴解得P的坐标是（2+2，1+2），将P点坐标代入x?b22yb22?1得，
?2?12?3
(2?3)2?1y2所以所求双曲线方程为x2?即x2?(22?1)y2?1.
?1,
22.解：∵四边形OFPM是?，∴|OF|?|PM|?c，作双曲线的右准线交PM于H，则|PM|?|PH|?2e?|PF||PH|?a2c，又
?|OF|c?2a2??cc?2a2??c222c?2a??e22e?2，e2??e?2?0。
cc22（Ⅱ）当??1时，e?2，c?2a，b?3a，双曲线为线AB的方程为y?2x224a?y223a?1四边形OFPM是菱形，所以直线OP的斜率为3，则直
23(x?2a)，代入到双曲线方程得：9x?48ax?60a?0，
又AB?12，由AB?1?k2(x1?x2)?4x1x2得：12?2(248a9)?4260a92，解得a?294，则b?2274，所以
x29?y2274?1为所求。
0)，F2(2，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 27.解：由条件知F1(?2，?????????解法一：（I）设M(x，y)，则则F1M?(x?2，y)，F1A?(x1?2，y1)， ?????????????????????????F1B?(x2?2，y2)，F1O?(2，0)，由F1M?F1A?F1B?F1O得 ?x?2?x1?x2?6，?x1?x2?x?4，即? ??y?y1?y2?y1?y2?y 14
于是AB的中点坐标为??x?4y?，?． 2??2y当AB不与x轴垂直时，
y1?y2x1?x2?2x?4??2yx?8，即y1?y2?yx?8(x1?x2)．
222又因为A，B两点在双曲线上，所以x12?y12?2，x2?y2?2，两式相减得
(x1?x2)(x1?x2)?(y1?y2)(y1?y2)，即(x1?x2)(x?4)?(y1?y2)y．
yx?8将y1?y2?(x1?x2)代入上式，化简得(x?6)?y?4．
22当AB与x轴垂直时，x1?x2?2，求得M(8，0)，也满足上述方程． 所以点M的轨迹方程是(x?6)2?y2?4．
????????（II）假设在x轴上存在定点C(m，0)，使CA?CB为常数．
当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y?k(x?2)(k??1)． 代入x2?y2?2有(1?k2)x2?4k2x?(4k2?2)?0．
则x1，x2是上述方程的两个实根，所以x1?x2?2，x1x2?2，
k?1k?1????????2于是CA?CB?(x1?m)(x2?m)?k(x1?2)(x2?2)
?(k?1)x1x2?(2k?m)(x1?x2)?4k?m
22224k24k?22??(k?1)(4k?2)k?12(1?2m)k?222222?4k(2k?m)k?12222?4k?m 4?4m222k?1k?1????????????????因为CA?CB是与k无关的常数，所以4?4m?0，即m?1，此时CA?CB=?1．
?当AB与x轴垂直时，点A，B的坐标可分别设为(2，2)，(2，2)，
?m?2(1?2m)??m．
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