????????此时CA?CB?(1，2)?(1，?2)??1．
????????故在x轴上存在定点C(1，0)，使CA?CB为常数． ?x1?x2?x?4，解法二：（I）同解法一的（I）有?
?y1?y2?y当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y?k(x?2)(k??1)．
代入x2?y2?2有(1?k2)x2?4k2x?(4k2?2)?0． 则x1，x2是上述方程的两个实根，所以x1?x2?4k22k?1．
?4k2?4ky1?y2?k(x1?x2?4)?k??4??2．
k?1k?1??由①②③得x?4?y?4kk?124k22k?1．…………………………………………………④
．……………………………………………………………………⑤
x?4y?k，将其代入⑤有
当k?0时，y?0，由④⑤得，
4?y?x?4y22(x?4)y??14y(x?4)(x?4)?y22．整理得(x?6)?y?4．
22当k?0时，点M的坐标为(4，0)，满足上述方程．
当AB与x轴垂直时，x1?x2?2，求得M(8，0)，也满足上述方程． 故点M的轨迹方程是(x?6)?y?4．
22????????（II）假设在x轴上存在定点点C(m，0)，使CA?CB为常数，
16
当AB不与x轴垂直时，由（I）有x1?x2?4kk22?1，x1x2?4k?2k?122．
以上同解法一的（II）． 29.解法一：（1）在△PAB中，AB?2，即22?d12?d22?2d1d2cos2?，
4?(d1?d2)?4d1d2sin?，即d1?d2?22224?4d1d2sin??21???2（常数），
2点P的轨迹C是以A，B为焦点，实轴长2a?21??的双曲线． 方程为：
x1???（2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)
?y?1．
①当MN垂直于x轴时，MN的方程为x?1，M(1，1)，N(1，?1)在双曲线上． 即
11???2②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为y?k(x?1)．
?1?1?????1?0???2?1?5，因为0???1，所以??5?12．
2?x2y??1?2?x2?2(1??)k2x?(1??)(k2??)?0， 由?1??得：???(1??)k????y?k(x?1)?2?由题意知：????(1??)k??0，
所以x1?x2??2k(1??)2??(1??)k22，x1x2??(1??)(k??)2??(1??)kk?2222．
于是：y1y2?k(x1?1)(x2?1)??????????因为OM?ON?0，且M，N在双曲线右支上，所以
??(1??)k．
17
?(1??)?2?x1x2?y1y2?0???(1??)k?2??5?12???2????1????????11??????． ?x1?x2?023?xx?0?k2????2???1?0??12?1???由①②知，5?12≤??23．
解法二：（1）同解法一
（2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为E(x0，y0)． ①当x1?x2?1时，MB因为0???1，所以??2??1?????1?????1?0，
25?12；
2?x12y1??1??x0?1????kMN??． ②当x1?x2时，?221??y0?x2?y2?1???1??y022又kMN?kBE?．所以(1??)y0??x0??x0；
x0?1?MN??MN??e(x1?x2)?2a?22?由∠MON?得x0?y0??，由第二定义得????? 2222???????22211??2??x0?1????x0?(1??)?2x0．
1???1???222所以(1??)y0??x0?2(1??)x0?(1??)．
2 18
222?(1??)?(1??)y0??x0??x0于是由?得x?
??(1??)y22200??x0?2(1??)x0?(1??)2?3?因为x(1??)20?1，所以2?3??1，又0???1，
解得：5?1???223．由①②知5?12≤??23．
19
38.(00北京安徽)（3）双曲线
xb22?ya22?1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是
32（A）2 （B）3 （C）2 （D）
20