(二) 线面积分的计算方法 1．曲线积分的计算
??定积分 ⑴ 基本方法：曲线积分??转化第一类线积分：设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为
?x??(t),，(??t??),（要解决1、积分限，2、被积函数，3、弧微分） ?y??(t),?其中?(t),?(t)在[?,?]上具有一阶连续导数，且?'2(t)??'2(t)?0，则
?Lf(x,y)ds??f[?(t),?(t)]?'2(t)??'2(t)dt,(???)
?y??x?acost?2?【例1】 求?xeds，其中L是由?所表示的曲线上相应于?t?(a?0)L33?y?asint的一段弧. 解 （法一）ds?故 原式=
a2sin2t?a2cos2tdt?adt,
asint??2?3acost?e?adt?aeasint|??0.
32?33 （法二）容易看出积分弧段关于y轴对称，而被积函数是关于变量x的奇函数，故
?Lxeyds?0
【例2】 求界. 解
?(x?y)ds，其中L是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形(图10.1)边
LB ?(x?y)ds??LOA(x?y)ds??(x?y)ds??(x?y)dsABBO??xdx??01102dx??ydy?1?2 01O A 【例3】求
?Lx2?y2ds,式中L为圆周x2?y2?ax(a?0)
解 L的极坐标方程为
r?acos?(?则
?2??????2),ds?r2(?)?r?(?)2d??ad?
?Lx?yds??2?acos??ad??2a2
222【例4】求
?L(x2?y2)ds，其中L是曲线x?a(cost?tsint),
y?a(sint?tcost),(0?t?2?,a?0)
解 ds?a2t2cos2t?a2t2sin2tdt?atdt，于是
?(xL2?02?y)ds??[a2(cost?tsint)2?a2(sint?tcost)2]atdt
022???a3t(1?t2)dt?2?a3(1?2?2)
第二类线积分：设P(x,y),Q(x,y)在有向曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为
?x??(t),，当t单调地???时，（要解决1、积分限，2、被积函数，3、弧微分） ??y??(t),点M(x,y)从L的起点A沿L运动到终点B，?(t),?(t)在以?及?为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且?'2(t)??'2(t)?0，则
?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy??{P[?(t),?(t)]?'(t)?Q[?(t),?(t)]?'(t)}dt
??【例1】 求
2y?Lxdx?xdy，其中L是曲线y?lnx上从点(1,0)到点(e,1)的一段弧.
1y解 由y?lnx得dx?dy,x?e，故
x原式=
?102ydy??eydy?(y2?ey)|10?e
01【例2】求
dx?dy， ??ABCx?yy
B(0,1)
B(0,1)
其中?ABC如图10.2所示
C(-1,0)
图10.2
A(1,0)
x
?????x?xAB:?,x:1?0,dy??dx,y?1?x?解（法一）
?????x?xBC:?,x:0??1,dy?dxy?1?x?0dx?(?dx)?1dx?dxdx?dydx?dy原式=?????????????????2
ABx?yBCx?y1x?(1?x)0?x?1?x(?1,0)(1,0)解（法二） 因为 x?y?1,又 dx?dy?d(x?y),故 原式=(x?y)
【例3】 求
??2
?C(x2?y2)dx?(x2?y2)dy，其中C为曲线y?1?1?x，(0?x?2)
解 当0?x?1时，y?1?(1?x)?x，则dy?dx； 当1?x?2时，y?1?(x?1)?2?x，则dy??dx；
?C(x2?y2)dx?(x2?y2)dy??2x2dx??[x2?(2?x)2?x2?(2?x)2]dx?01124 3
⑵ 基本技巧 ① 利用对称性简化计算； 【例1】 求
2222L(x?y)ds，其中为圆周. x?y?a??L解 由对称性得
??xyds?0，故
LLLL22222(x?y)ds?(x?2xy?y)ds?(x?y)ds?2????????xyds L
2223???ads?0?a??ds?a?2?a?2?a
LL【例2】求I?12y[(x?)?(?1)2]ds,其中C:x2?y2?1 ??C22解 利用对称性
y25y252I???C[(x?4?4)?(x?y)]ds???C(x?4?4)ds(??C(x?y)ds?0) 2222x?yx?y51155515??(?)ds??2??(?)ds?????????C2??C288424242 ② 利用格林公式(注意：添加辅助线的技巧)；
【定理10.1】 格林（Green）公式 设函数P(x,y)和Q(x,y)在分段光滑的闭曲线L所围成的闭区域D上具有一阶连续偏导数，则有
??(D?Q?P?)dxdy??Pdx?Qdy ?L?x?y其中L是D的正向边界.
e?x2yxy2?siny2222L【例1】计算?,其中是,顺时针方向 x?y?adx?dy22?Lx2?y2x?y? 计算对于坐标的曲线积分第二种解法: 利用格林公式求解，计算前必须使用代入技
巧,消去分母,否则工作量太大.因为L是反向的,所以使用格林公式是需要补加一个负号.
解 将x2?y2?a2代入被积分式中，
x2ex?x2yxy2?siny2??Lx2?y2dx?x2?y2dy
1x2222e?xydx?xy?sinydy =2????La2??P?e?x2y,Q?xy2?siny2,
?Q?P??y2?x2. ?x?y根据格林公式， 原式??x21a2x2?y2?a2???x2?y2?d?
a12???2?d??r3dr
0a0?a2??。
2【例2】计算
?Lx2?y2dx??x?ylnx?x2?y2?dy,
????22??其中L是?x?1???y?1??1的上半圆周,顺时针方向. ? 不易直接计算,应该检验
?Q?P??0.补充AB:y?1,x由2至0, ?x?y原式=
?L?AB??AB.然后利用格林公式.