B A
解 设P?x2?y2,
Q?x?ylnx?x2?y2.
?Q?P??1. ?x?y补:AB:y?1,x由2至0,
???Qy?Py ?1?,?2222?xx?y?yx?yAB与L所围成的区域记为D.
原式=
?L?AB??AB
?11?x2?????x?1?lnx?x2?1????5?ln2?5
222?22?2???0?? ③ 利用积分与路径无关的等价条件
【定理10.3】（积分与路径无关的条件）设函数P(x,y)和Q(x,y)在单连通区域D内具有一阶连续偏导数，则下列四个条件相互等价，即互为充要条件： (1)
?LABPdx?Qdy在D内与路径无关；
(2)在D内存在一个函数u(x,y)，使 du?Pdx?Qdy,其中
u(x,y)??xx0P(x,y0)dx??Q(x,y)dy??P(x,y)dx??Q(x0,y)dy
y0x0y0yxy(x0,y0)为D内任一取定的点.
（3）
??Pdx?Qdy?0，其中L为D内任一分段光滑的闭曲线
L（4）在D内等式
?P?Q?恒成立 ?y?x3【例1】求
?(2xyL?y2cosx)dx?(1?2ysinx?3x2y2)dy,其中L为
?2x??y2从点O(0,0)到点B(,1)的一段弧
2解 P(x,y)?2xy3?y2cosx,Q(x,y)?1?2ysinx?3x2y2
?Q?P??6xy2?2ycosx, ?x?y故积分与路径无关,选取折线路径 O(0,0)?C(1?,0)?B(,1) 22?3?22?2y)dy?原式=?[1?2ysin?3()y]dy??(1?2y?
002244??221(y2?2xy?ax2)dx?(x2?2xy?by2)dy【例2】适当选取a,b,使是某个函数u(x,y)的全
(x2?y2)2微分,并求出u(x,y)
?Qx3?3x2y?(2b?1)xy2?y3?Px3?(1?2a)x2y?3xy2?y3解 因为 ?2,?2222222?x(x?y)?y(x?y)令
?Q?P?,比较系数得 a??1,b??1 ?x?yu(x,y)???????????????(x,y)(1,1)x(y2?2xy?x2)dx?(x2?2xy?y2)dy(x2?y2)22221yx?2x?y1?2x?xx?ydx?dy??C2222222?1(x?1)(x?y)x?y
【例3】试确定可导函数f(x),使积分为(0,0),(1,1)时的积分值.此处f(0)?解 P?[e?f(x)]y,Q??f(x),x?(B)(A)[ex?f(x)]ydx?f(x)dy与路径无关,且求A,B1 2?Q?P??f?(x),?ex?f(x) ?x?y令
?Q?P?,则有 f?(x)?f(x)??ex,解一阶线性非齐次微分方程得 ?x?ye2xf(x)?e(??C),
2?x代入 f(0)?11x?x得,C?1,即 f(x)?e?e. 22当A,B为(0,0),(1,1)时,积分为
11x1x1e1?x?x?1(e?e)ydx?(e?e)dy??(e?e)dy?? ?(0,0)?02222e(1,1)【例4】 计算
xdy?ydx??Lx2?4y2，其中L为任意一条不通过原点的简单光滑正向的封闭曲线. ?yx,Q?, 2222x?4yx?4y解 设P??Q4y2?x2?P则，除去原点O(0,0)以外一切点上式都成立. ?2?22?x(x?4y)?y①当曲线L的内部不含原点时
xdy?ydx?Q?P?(?)dxdy???0dxdy?0. ??Lx2?4y2???x?yDD②当曲线L的内部含原点时,可在L的内部做一个充分小的椭圆
c:x?2acost,y?asint，从t?0到t?2?.利用复连通域上的格林公式，有
xdy?ydxxdy?ydx1????Lx2?4y2??cx2?4y24a2??xdy?ydxc?11?2dxdy??2???2a?a?? 24a2??4aD ④ 利用两类曲线积分的联系公式 【定理10.2】（两类曲线积分之间的关系） 其中cos???LPdx?Qdy??(Pcos??Qcos?)ds
Ldxdy,cos??，?和?表示曲线的切向量的方向角. dsds