2.曲面积分的计算
??二重积分 ⑴ 基本方法：曲面积分??转化第一类面积分：
当曲面?由方程z?z(x,y)给出，
???22f(x,y,z)dS???f[x,y,z(x,y)]1?zx(x,y)?zy(x,y)dxdy，
Dxy(Dxy为?在xoy面上的投影区域)
要解决 1、曲面方程如z?z(x,y)及投影区域Dxy，
2、被积函数f[x,y,z(x,y)]，
3、面积微分1?zx(x,y)?zy(x,y)dxdy）
注：如果积分曲面?由方程x?x(y,z)或y?y(z,x)给出，也可类似地把对面积的曲面积分化为相应的二重积分. 【例1】 求部分.
解 曲面?在xoy坐标平面上的投影为Dxy:x?y?1.
2222???222?z2?x2?y2dS，其中?为锥面z?x?y介于z?0及z?1之间的
zx?xx?y22,zy?yx?y22，
故
???2?z2?x2?y2dS
???2?(x2?y2)2?x2?y2?1?(zx)2?(zy)2dxdy
Dxy???2dxdy?2??dxdyDxy?
?2???2?【例2】求
???xyzdS，?为曲面z?x2?y2被平面z?1割下的部分
解 设?1表示?在第一卦限内部分，则
???xyzdS?4??xyzdS?4?1x2?y2?1x?0,y?01??xy(x2?y2)1?4(x2?y2)dxdy1255?1420?0?4?2d??r2cos?sin?r21?4r2rdr?2?r51?4r2dr?001
第二类面积分：
??P(x,y,z)dydz????P[x(y,z),y,z]dydz，
?Dyz(其中?由方程x?x(y,z)给出前侧取正，后侧取负)
??Q(x,y,z)dzdx????Q[x,y(x,z),z]dzdx,
?Dyz(其中?由方程y?y(x,z)给出右侧取正，左侧取负)
??R(x,y,z)dxdy????R[x,y,z(x,y)]dxdy，
?Dyz(其中?由方程z?z(x,y)给出上侧取正，下侧取负) 【例1】求外侧
解 设 ???1??2??3，其中 ?1:z?2,x2?y2?4，?2:z????ezdxdyx2?y2，?为锥面z?x2?y2及平面z?1和z?2所围成的立体表面的
x2?y2,1?z?2,
?3:z?1,x2?y2?1在面上的投影分别为
D1:x2?y2?4,D2:1?x2?y2?4,D3:x2?y2?1
???ezdxdyx?y22????1ezdxdyx?y22????2ezdxdyx?y22????3ezdxdyx?y22 ???D1e2dxdyx2?y22?200???D2ex2?y2dxdyx2?y2???D3edxdyx2?y2
?e2?d??2?22?11rdr?(??d??erdr)?(?e?d??dr)?2?e20100rx2y2z2【例2】设?是椭球面2?2?2?1的外侧(a?0,b?0,c?0),求
abcI????111dydz?dzdx?dxdy. ?xyz 解 设?1,?2是?的上半椭球面的上侧和下半椭球面的下侧，?1,?2在xoy面的投影为
x2y2??1，则 a2b2111dxdy?dxdy?????z????1z????2zdxdy
2?cx2??y2??1a2b2b2a?4?dx?220c0xy1?2?2ab2dxdy1?x2a2dyx2y21?2?2ab8a??(arcsinc0yx2b1?2ab1?0x4?abc2)dx?ac2 同理得
11114?abc14?abcI?4?abc(??2) dydz?,dzdx?，所以2222????x????abcayb
⑵ 基本技巧
① 利用对称性及重心公式简化计算； 【例1】求
???xdydz?ydxdz?zdxdy,?为球面(x?a)?2222?(y?b)2?
(z?c)2?R2的外侧.
解 记 ?:(x?a)2?(y?b)2?(z?c)2?R2，利用Gauss公式，有
原式=2???(x?y?z)dxdydz，
?由重心坐标(x,y,z)?(a,b,c)得 原式=2(a?b?c)83 dxdydz??(a?b?c)R???3?
② 利用高斯公式(注意公式使用条件，添加辅助面的技巧)； 【定理10．5】高斯(Gauss)公式
设空间闭区域?是由分片光滑的闭曲面?所围成，函数
P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在?上具有一阶连续偏导数，
则有
???(??P?Q?R??)dxdydz??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy, ???x?y?z?或
???(??P?Q?R??)dxdydz??(Pcos??Qcos??Rcos?)dS, ???x?y?z?cos?,cos?,cos?是?在点(x,y,z)处的法向量的方这里?是?的整个边界曲面的外侧，
向余弦
【例1】 求 解
22222(x?y?z)dydz?adydz?a?????????dydz ??????(x?2?y2?z2)dydz，其中?是球面x2?y2?z2?a2内侧.
Gauss公式?a2【例2】 求
x2?y2?z2?a2???0dxdydz?0
2???zdxdy?ydzdx?xdydz，其中?是球面x??y2?z2?a2外侧.
解 由已知得 P?x,Q?y,R?z，则由Gauss公式得 原式=
【例3】 求
?P?Q?R???1 ?x?y?zx2?y2?z2?a2???(4?P?Q?R??)dxdydz?3???dxdydz?3??a3?4?a3
3?x?y?zx2?y2?z2?a22232xzdydz?y(z?1)dzdx?(9?z)dxdy，其中?是曲面 ???z?x2?y2?1(1?z?2)的下侧.
解 补充 ?1:??z?2????????，取上侧 22x?y?1?2232xzdydz?y(z?1)dzdx?(9?z)dxdy ????{??????1???}2xz2dydz?y(z2?1)dzdx?(9?z3)dxdy
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