【分析】（1）根据作已知线段的垂直平分线的方法，即可得到线段AC的垂直平分线DE；
2
（2）根据Rt△ADE中，∠A=30°，AE=，即可求得a的值，最后化简T=（a+1）﹣a（a﹣1），再求T的值． 【解答】解：（1）如图所示，DE即为所求；
（2）由题可得，AE=AC=∴Rt△ADE中，DE=AD，
设DE=x，则AD=2x，
222
∴Rt△ADE中，x+（）=（2x）， 解得x=1，
∴△ADE的周长a=1+2+=3+，
2
∵T=（a+1）﹣a（a﹣1）=3a+1，
∴当a=3+时，T=3（3+）+1=10+3．
【点评】本题主要考查了基本作图以及含30度角的直角三角形的性质，解题时注意：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． 21．（12分）甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路60公里，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的倍，甲队比乙队多筑路20天．
（1）求乙队筑路的总公里数；
（2）若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为5：8，求乙队平均每天筑路多少公里． 【分析】（1）根据甲队筑路60公里以及乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的倍，即可求出乙队筑路的总公里数；
（2）设乙队平均每天筑路8x公里，则甲队平均每天筑路5x公里，根据甲队比乙队多筑路20天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【解答】解：（1）60×=80（公里）．
答：乙队筑路的总公里数为80公里．
（2）设乙队平均每天筑路8x公里，则甲队平均每天筑路5x公里，
，∠A=30°，
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根据题意得：﹣=20，
解得：x=0.1，
经检验，x=0.1是原方程的解， ∴8x=0.8．
答：乙队平均每天筑路0.8公里．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列式计算；（2）找准等量关系，列出分式方程．
22．（12分）将直线y=3x+1向下平移1个单位长度，得到直线y=3x+m，若反比例函数y=的图象与直线y=3x+m相交于点A，且点A的纵坐标是3． （1）求m和k的值；
（2）结合图象求不等式3x+m＞的解集．
【分析】（1）根据平移的原则得出m的值，并计算点A的坐标，因为A在反比例函数的图象上，代入可以求k的值；
（2）画出两函数图象，根据交点坐标写出解集． 【解答】解：（1）由平移得：y=3x+1﹣1=3x， ∴m=0，
当y=3时，3x=3， x=1，
∴A（1，3）， ∴k=1×3=3；
（2）画出直线y=3x和反比例函数y=的图象：如图所示，
由图象得：不等式3x+m＞的解集为：﹣1＜x＜0或x＞1．
【点评】本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题和一次函数的图象的平移问题，涉及到用待定系数法求反比例函数的解析式，并熟知函数图象平移时“上加下减，左加右减”
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的法则．
2
23．（12分）已知抛物线y1=﹣x+mx+n，直线y2=kx+b，y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4． （1）求y1的解析式；
（2）若y2随着x的增大而增大，且y1与y2都经过x轴上的同一点，求y2的解析式． 【分析】（1）根据题意求得顶点B的坐标，然后根据顶点公式即可求得m、n，从而求得y1的解析式；
2
（2）分两种情况讨论：当y1的解析式为y1=﹣x﹣2x时，抛物线与x轴的交点是抛物线的顶点（﹣1，0），不合题意；
22
当y1=﹣x﹣2x+8时，解﹣x﹣2x+8=0求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据A的坐标和y2随着x的增大而增大，求得y1与y2都经过x轴上的同一点（﹣4，0），然后根据待定系数法求得即可．
2
【解答】解：（1）∵抛物线y1=﹣x+mx+n，直线y2=kx+b，y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4． ∴B（﹣1，1）或（﹣1，9）， ∴﹣
=﹣1，
=1或9，
解得m=﹣2，n=0或8，
22
∴y1的解析式为y1=﹣x﹣2x或y1=﹣x﹣2x+8；
2
（2）①当y1的解析式为y1=﹣x﹣2x时，抛物线与x轴交点是（0.0）和（﹣2.0）， ∵y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5）， ∴y1与y2都经过x轴上的同一点（﹣2，0）， 把（﹣1，5），（﹣2，0）代入得解得
，
，
∴y2=5x+10．
22
②当y1=﹣x﹣2x+8时，解﹣x﹣2x+8=0得x=﹣4或2， ∵y2随着x的增大而增大，且过点A（﹣1，5）， ∴y1与y2都经过x轴上的同一点（﹣4，0）， 把（﹣1，5），（﹣4，0）代入得
，
解得；
∴y2=x+．
【点评】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，根据题意求得顶点坐标是解题的关键． 24．（14分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△COD关于CD的对称图形为△CED．
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（1）求证：四边形OCED是菱形； （2）连接AE，若AB=6cm，BC=cm． ①求sin∠EAD的值；
②若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间．
【分析】（1）只要证明四边相等即可证明； （2）①设AE交CD于K．由DE∥AC，DE=OC=OA，推出CK=4，在Rt△ADK中，AK=问题；
②作PF⊥AD于F．易知PF=AP?sin∠DAE=t=
+
AP，因为点Q的运动时间
=
=
=，由AB=CD=6，可得DK=2，
计算即可解决
=3，根据sin∠DAE=
=OP+AP=OP+PF，所以当O、P、F共线时，OP+PF的值最小，此时OF是△ACD的
中位线，由此即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形． ∴OD=OB=OC=OA，
∵△EDC和△ODC关于CD对称， ∴DE=DO，CE=CO， ∴DE=EC=CO=OD，
∴四边形CODE是菱形．
（2）①设AE交CD于K． ∵四边形CODE是菱形， ∴DE∥AC，DE=OC=OA， ∴
=
=
∵AB=CD=6， ∴DK=2，CK=4， 在Rt△ADK中，AK=∴sin∠DAE=
=，
=
=3，
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②作PF⊥AD于F．易知PF=AP?sin∠DAE=AP， ∵点Q的运动时间t=
+
=OP+AP=OP+PF，
∴当O、P、F共线时，OP+PF的值最小，此时OF是△ACD的中位线， ∴OF=CD=3．AF=AD=∴AP=
=，
，PF=DK=1，
∴当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，AP的长为，点Q走完全程所需的时间为3s．
【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、菱形的判定和性质、锐角三角函数、平行线分线段成比例定理、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，所以中考压轴题．
25．（14分）如图，AB是⊙O的直径，
=
，AB=2，连接AC．
（1）求证：∠CAB=45°；
（2）若直线l为⊙O的切线，C是切点，在直线l上取一点D，使BD=AB，BD所在的直线与AC所在的直线相交于点E，连接AD．
①试探究AE与AD之间的是数量关系，并证明你的结论； ②
是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）由AB是⊙O的直径知∠ACB=90°，由
=
即AC=BC可得答案；
（2）分∠ABD为锐角和钝角两种情况，①作BF⊥l于点F，证四边形OBFC是矩形可得AB=2OC=2BF，结合BD=AB知∠BDF=30°，再求出∠BDA和∠DEA度数可得；②同理BF=BD，即可知∠BDC=30°，分别求出∠BEC、∠ADB即可得；
（3）分D在C左侧和点D在点C右侧两种情况，作EI⊥AB，证△CAD∽△BAE得
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==，