即AE=CD，结合EI=BE、EI=AE，可得BE=2EI=2×AE=AE=×CD=2CD，
从而得出结论． 【解答】解：（1）如图1，连接BC，
∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵AC=BC， ∴∠CAB=∠CBA=
=45°；
（2）①当∠ABD为锐角时，如图2所示，作BF⊥l于点F，
由（1）知△ACB是等腰直角三角形， ∵OA=OB=OC，
∴△BOC为等腰直角三角形， ∵l是⊙O的切线， ∴OC⊥l， 又BF⊥l，
∴四边形OBFC是矩形， ∴AB=2OC=2BF， ∵BD=AB， ∴BD=2BF， ∴∠BDF=30°，
∴∠DBA=30°，∠BDA=∠BAD=75°，
∴∠CBE=∠CBA﹣∠DBA=45°﹣30°=15°， ∴∠DEA=∠CEB=90°﹣∠CBE=75°， ∴∠ADE=∠AED， ∴AD=AE；
②当∠ABD为钝角时，如图3所示，
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同理可得BF=BD，即可知∠BDC=30°，
∵OC⊥AB、OC⊥直线l， ∴AB∥直线l，
∴∠ABD=150°，∠ABE=30°，
∴∠BEC=90°﹣（∠ABE+∠ABC）=90°﹣（30°+45°）=15°， ∵AB=DB，
∴∠ADB=∠ABE=15°，
∴∠BEC=∠ADE， ∴AE=AD；
（3）①如图2，当D在C左侧时，
由（2）知CD∥AB，∠ACD=∠BAE，∠DAC=∠EBA=30°， ∴△CAD∽△BAE， ∴
=
=
，
∴AE=CD，
作EI⊥AB于点I，
∵∠CAB=45°、∠ABD=30°， ∴BE=2EI=2×∴
=2；
AE=
AE=
×
CD=2CD，
②如图3，当点D在点C右侧时，过点E作EI⊥AB于I， 由（2）知∠ADC=∠BEA=15°， ∵AB∥CD，
∴∠EAB=∠ACD， ∴△ACD∽△BAE， ∴
=
=
，
∴CD，
∵BA=BD，∠BAD=∠BDA=15°， ∴∠IBE=30°，
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∴BE=2EI=2×∴
=2．
AE=AE=×CD=2CD，
【点评】本题主要考查圆的综合问题，熟练掌握切线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、圆心角定理及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
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