2015-2016学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（下）期中数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．） 1．复数z=﹣2（sin2016°﹣icos2016°）在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数y=f（x）的图象，且（fx）=则这个正态总体的期望与标准差分别是（ ） A．10与4 B．10与2 C．4与10 3．函数f（x）=lnx﹣x的大致图象是（ ）
2
，
D．2与10
A． B． C．
D．
4．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球时为止，所需要的取球的次数为随机变量ξ，则ξ的可能值为（ ） A．1，2，…，6 B．1，2，…，7 C．1，2，…，11 D．1，2，3… 5．设点P在曲线
A．1﹣ln2
上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（ ） B．
C．1+ln2
D．
6．若复数z=+，则|z|的值为（ ）
A． B． C． D．2
7．f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意正数a、b，若a＜b，则必有（ ）
A．af（b）≤bf（a） B．bf（a）≤af（b） C．af（a）≤f（b） D．bf（b）≤f（a） 8．若z=+
i，且（x﹣z）=a0x+a1x+a2x+a3x+a4，则a2等于（ ）
4
4
3
2
A．﹣+i B．﹣3+3i C．6+3i 9．已知随机变量ξ的概率分布如下，则P（ξ=10）=（ ） ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 D．﹣3﹣3i
9 10
P m
A． B． C． D．
10．设f （x）为可导函数，且满足f（1））处的切线的斜率是（ ）
=﹣1，则曲线y=f（x）在点（1，
A．2 B．﹣1 C． D．﹣2
11．甲、乙两名篮球运动员轮流投篮直至某人投中为止，计每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他投篮结果的影响．设甲投篮的次数为ξ，若甲先投，则P（ξ=k）等于（ ） A．0.6
k﹣1
×0.4 B．0.24
k﹣1
×0.76 C．0.4
k﹣1
×0.6 D．0.6
k﹣1
×0.24
12．已知f（x）=，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（2）＞0；④f（0）f（2）＜0．其中正确结论的序号为（ ） A．①③ B．①④ C．②④ D．②③ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13．
|x+2|dx= ．
14．已知复数z1=2+i，z2=a+3i（a∈R），z1z2是实数，则|z1+z2|= ． 15．已知f（x）=xe，g（x）=﹣（x+1）+a，若?x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，则实数a的取值范围是 ．
22
16．若函数f（x）=（1﹣x）（x+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第18-22每小题10分共70分．）
x
2
17．复数z1=+（10﹣a）i，z2=
2
+（2a﹣5）i，若
+z2是实数，求实数a的值．
18．甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者． （Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
（Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求ξ的分布列．
2
3
19．已知函数f（x）=ax+1（a＞0），g（x）=x+bx．
（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处有公共切线，求a，b的值；
（2）当a=3，b=﹣9时，函数f（x）+g（x）在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围． 20．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式． （2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率． （i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；
（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．
21．已知M为△ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交两边AB、AC于点P、Q，设 =x
，
，记y=f（x）．
（1）求函数y=f（x）的表达式；
3
2
（2）设g（x）=x+3ax+2a，x∈[0，1]．若对任意x1∈[，1]，总存在x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．
22．函数f（x）=alnx+1（a＞0）． （Ⅰ） 当x＞0时，求证：
；
*
（Ⅱ） 在区间（1，e）上f（x）＞x恒成立，求实数a的范围．
（Ⅲ） 当
时，求证：
）（n∈N）．
2015-2016学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（下）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．） 1．复数z=﹣2（sin2016°﹣icos2016°）在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】先对复数进行整理，再由角的正弦和余弦的符号，判断出此复数对应的点所在的象限．
【解答】解：复数z=﹣2（sin2016°﹣icos2016°）=﹣2sin2016°+2icos2016°， 2016°=360°×5+180°+36°， ∵sin2016°=﹣sin36°＜0，cos2016°=﹣cos36°＜0， ∴复数z在复平面内对应的点为（﹣2sin2016°，2cos2016°）在第四象限． 故选：D． 【点评】本题考查了复数与复平面内对应点之间的关系，需要利用三角函数的符号进行判断实部和虚部的符号，是基础题．
2．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数y=f（x）的图象，且（fx）=则这个正态总体的期望与标准差分别是（ ） A．10与4 B．10与2 C．4与10
【分析】根据正态分布函数的式子得出：μ，σ，即可选择答案．
D．2与10
，
【解答】解：∵f（x）=
，且该正态曲线是函数f（x）的图象，
∴根据正态分布函数的式子f（x）=∴得出：μ=10，σ=2，
，
故选：B．
【点评】本题考察了正态分布曲线的函数解析式，运用公式求解即可，属于基础题． 3．函数f（x）=lnx﹣x的大致图象是（ ）
2
A． B． C．
D．
【分析】由f（x）=lnx﹣x可知，f′（x）=﹣x=
2
2
，从而可求得函数f（x）
=lnx﹣x的单调区间与极值，问题即可解决．
【解答】解：∵f（x）=lnx﹣x，其定义域为（0，+∞）
2
∴f′（x）=﹣x=，
由f′（x）＞0得，0＜x＜1；f′（x）＜0得，x＞1；
2
∴f（x）=lnx﹣x，在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减； ∴x=1时，f（x）取到极大值．又f（1）=﹣＜0，
2
∴函数f（x）=lnx﹣x的图象在x轴下方，可排除A，C，D． 故选B．
【点评】本题考查函数的图象，是以考查函数的图象为载体考查导数及其应用，注重考查学生分析转化解决问题的能力，属于基础题．
4．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球时为止，所需要的取球的次数为随机变量ξ，则ξ的可能值为（ ） A．1，2，…，6 B．1，2，…，7 C．1，2，…，11 D．1，2，3…